題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分） 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A1C∥面AB1M；
（Ⅱ）在棱CC1上找一點N，使MN⊥AB1；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M－AB1－N的大小．
（本小題滿分12分） 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A1C∥面AB1M；
（Ⅱ）在棱CC1上找一點N，使MN⊥AB1；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M－AB1－N的大小．
（本小題滿分12分） 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A1C∥面AB1M；
（Ⅱ）在棱CC1上找一點N，使MN⊥AB1；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M－AB1－N的大小．
（本小題滿分12分） 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A1C∥面AB1M；
（Ⅱ）在棱CC1上找一點N，使MN⊥AB1；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M－AB1－N的大小．
文科數(shù)學(xué)參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.C
13.1 14.2 15.2 16.
17.解：f(x)＝2sin(＋)?cos－1
＝sin x＋2cos2－1＝sin x＋cos x＝sin(x＋).4分
(1)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得2kπ－≤x≤2kπ＋.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z).8分
(2)當(dāng)x∈[0，)時，x＋∈[，)，則sin(x＋)有最小值，
此時f(x)min＝1，故由題意得1－m>1⇒m<0.12分
18.解：(1)四人恰好買到同一支股票的概率P1＝6××××＝.6分
(2)四人中有三人恰好買到同一支股票的概率P2＝＝＝.
所以四人中至少有三人買到同一支股票的概率P＝P1＋P2＝＝.12分
19.解：(1)∵AC1＝2，∴∠A
又∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點O，則A1O⊥平面ABC，2分
可得AO＝1，A1O＝，∵正△ABC的面積S△ABC＝3，
∴三棱柱ABC―A1B
年度高三年級第一次模擬考試%20文科數(shù)學(xué).files/image006.jpg)
(2)(法一)：以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
∵AO＝1，BO⊥AC.則A(0，－1,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)，B1(，1，).
∴＝(，1,0)，＝(，2，)，＝(0,2,0).
設(shè)平面AB
解得n＝(－1,0,1)，10分
由cos〈，n〉＝－得：棱A1B1與平面AB
年度高三年級第一次模擬考試%20文科數(shù)學(xué).files/image008.jpg)
(2)(法二)：如圖可得B
設(shè)棱AB與平面AB
∴A1B1與平面AB
20.解：(1)設(shè)這二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，則f ′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.2分
又因為點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，所以Sn＝3n2－2n.3分
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.4分
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，5分
所以，an＝6n－5(n∈N*).6分
(2)由(1)得知bn＝＝＝(－)，8分
故Tn＝i＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－).10分
因此，要使(1－)<(n∈N*)成立，
必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.12分
21.解：(1)F′(x)＝x3－3bx＋3b，設(shè)g(x)＝x3－3bx＋3b.則g′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b).2分
依題意，方程g(x)＝0有三個不等實根，∴首先b>0，于是
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
極大值
?
極小值
?
∴g(x)極大值＝g(－)＝2b＋3b>0，g(x)極小值＝g()＝3b－2b.
依題意：g()<0.解得b>.6分
(2)依題意：g(x)≥0對∀x∈[1,2]恒成立.
①若b≤1時，則g′(x)≥0，x∈[1,2].此時g(x)min＝g(1)＝1>0.符合.8分
②若1<b<4時，則g′(x)＝0得x＝.當(dāng)x∈(1，)時，有g(shù)′(x)<0；
當(dāng)x∈(，2)時，有g(shù)′(x)>0.
∴g(x)min＝g()＝3b－2b≥0.解得1<b≤.10分
③若b≥4時，則g′(x)≤0.∴g(x)min＝g(2)＝8－3b≥0⇒b≤，矛盾.
綜上，b的取值范圍是b≤.12分
22.解：(1)在Rt△F1MF2中，|OM|＝＝2知c＝2，2分
則解得a2＝6，b2＝2.∴橢圓方程為＋＝1.6分
(2)設(shè)N(m，n)(m≠0)，l為y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝x＋t與＋＝1得(＋)x2＋tx＋－1＝0.8分
∴x1＋x2＝－mnt，x1x2＝m2(－1)，①10分
∴kNA＋kNB＝＋＝
＝，12分
將①式代入得kNA＋kNB＝.
又∵NA、NB與x軸圍成的三角形是等腰三角形得kNA＋kNB＝0，
∴n2＝1代入＋＝1，得m2＝3，∴N(±，±1).14分
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