題目列表(包括答案和解析)
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| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| an |
| an+1 |
| 1 |
| 2 |
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| am |
| am+1 |
已知正項數列
中，對于一切的
均有
成立。
（1）證明：數列中的任意一項都小于1；
（2）探究
與
的大小，并證明你的結論.
一、BCBBA BCDCB DB
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13
14 ..4 15. 
16. （2，3）
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. （本大題共10分）
解：由于y=2x是增函數，
等價于
. ①………………………………… 2分
(i) 當x≥1時，|x+1|－|(x－1)|=2.…………………………………… 5分
∴①式恒成立.
(ii) 當－1<x<1時，|x+1|－|x－1|=2x，
①式化為
即
………………………………… 8分
(iii)當x≤－1時，|x+1|－|x－1|=－2,
①式無解.
綜上， x取值范圍是
.……………………………… 10分
18. （本小題滿分12分）
．解：（1）
，
，且
.
，即
，又
，
……..2分
又由
，
5分
（2）由正弦定理得：
，
7分
又
，
…………9分
，則
.則
，
即
的取值范圍是
…………………
12分
19.（本小題滿分12分）
（1）解：設“射手射擊1次，擊中目標”為事件A
則在3次射擊中至少有兩次連續擊中目標的概率
=
7分
（2）解：射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率
12分
20. (本小題滿分12分)
（Ⅰ）解：
，令
，得
.
2分
0
增
極大值
減
由上圖表知：
的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
的極大值為
.
5分
（Ⅱ）證明：對一切
，都有
成立
則有
由（Ⅰ）知，的最大值為
，
并且
成立，
8分
當且僅當
時成立，
函數
的最小值大于等于函數
的最大值，
但等號不能同時成立.
所以，對一切，都有成立. 12分
21．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：由已知：對于
，總有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均為正數，∴
（n ≥ 2）
∴數列
是公差為1的等差數列
又n=1時，
， 解得
=1
∴
.(
)
……………4分
（Ⅱ）(解法一)由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 時，
是遞減數列.
令
∵當
∴在
內
為單調遞減函數.
由
.
∴n≥2 時, 
是遞減數列.即是遞減數列.
又
, ∴數列中的最大項為
. …………… 6分
(解法二) 猜測數列中的最大項為.
易直接驗證;
以下用數學歸納法證明n≥3 時, 
(1)當
時, 
, 所以時不等式成立;
(2)假設
時不等式成立,即
,即
,
當
時, 
,
所以
,即時不等式成立.
由(1)(2)知對一切不小于3的正整數都成立.
…………… 8分
(Ⅲ)(解法一)當
時,可證: 
…………… 10分
…………… 12分
(解法二) 
時, 
……8分
…………… 12分
注:也可分段估計,轉化為等比數列求和(也可加強命題,使用數學歸納法)
22．（本小題滿分12分）
解：（I）由
故
的方程為
點A的坐標為（1，0）
2分
設
由
整理
4分
動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，
長軸長為
，短軸長為2的橢圓。
5分
（II）如圖，由題意知
的斜率存在且不為零，
設方程為
①
將①代入，整理，得
7分
設
、
，
則
②
令
由此可得
由②知
，
即
10分
解得
又
面積之比的取值范圍是
12分
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