Question

（1）證明下列命題：
已知函數f（x）=kx+p及實數m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，則對于一切實數x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的結論解決下列各問題：
①若對于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k²x+16k恒成立，求實數k的取值范圍．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-1．

Answer 1

分析：（1）先證明f（x）的單調性，利用單調性再去證明f（x）＞0．
（2）構造函數f（x）=2x+20-k²x-16k=（2-k²）x+（20-16k），利用（1）的結果得出f（-6）＞0，f（4）＞0，解出實數k的取值范圍．
構造函數  h（a）=ab+bc+ca+1，a∈（-1，1）且h（-1）=（b-1）（c-1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得結論．

解答：解：（1）設x₁，x₂∈（m，n） 且x₁＜x₂，
當k＞0時，f（x₂ ）-f（x₁）=k（x₂-x₁）＞0，f（x）為增函數．f（x）＞f（m）＞0．
 當k＜0時，f（x₂ ）-f（x₁）=k（x₂-x₁）＜0，f（x）為減函數．f（x）＞f（n）＞0．
 當k=0時，f（x）為常函數．f（x）=f（m）＞0．
綜上對于一切實數x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）①將不等式2x+20＞k²x+16k，移向（2-k²）x+（20-16k）＞0，
構造函數f（x）=2x+20-k²x-16k=（2-k²）x+（20-16k）
只要同時滿足f（-6）＞0，f（4）＞0即可．解得：-2-

11

＜x＜

2

3

②將證明不等式的問題“轉化”為關于a（或b、c）的一次函數，這就需要“造”一個一次函數如下：
令h（a）=ab+bc+ca+1；
即h（a）=a（b+c）+bc+1，a∈（-1，1）
由h（-1）=（b-1）（c-1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得結論．
∴h（a）=ab+bc+ca+1＞0，即ab+bc+ca＞-1．

點評：本題考查函數與不等式，函數單調性的證明與應用，構造法解決問題的能力．