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有下列三角形數陣：記三角形數陣構成的數列為{a_n}，且a₁=

1

1

，a₂=

2

1

，a₃=

1

2

，a₄=

3

1

，a₅=

2

2

，…，據此推測a₂₀₁₀等于

7

57

7

57

．

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一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

題號

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

B

A

C

B

D

B

C

A

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.第一個空3分，第二個空2分)

(9)±3(丟一個不給分)    (10)10    (11)   

(12)9，30    (13)34    (14)(－2，2)，(－∞，3]

三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

(15)(本小題滿分12分)

   解：(Ⅰ)由＜0.

得－2＜x＜2.

    　 ∴A＝{x|－2＜x＜2}.……………………………………………………………3分

    由|x－2|＜1.

       得1＜x＜3.

       ∴B={x|l＜x＜3}.…………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)∵A＝{x|－2＜x＜2}，U＝R，

          ∴_UA＝{x|x≤－2或x≥2}.……………………………………………………9分

          ∴(_U A)∩B＝{x|2≤x＜3}.……………………………………………………12分

(16)(本小題滿分13分)

   解：(Ⅰ)由f (x)＝x³+ax²+2得

   f ′ (x)=3x²+2ax.………………………………………………………………………………3分

   ∵f ′ (x)圖象關于直線x=l對稱，

   ∴－＝1.

   ∴a＝－3.……………………………………………………………………………………6分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x)＝x³－3x²+2，f ′ (x)＝3x²－6x.

      令f ′ (x)＝0得x₁＝0，x₂＝2.……………………………………………………………8分

   當x在[－1，2]上變化時，f ′ (x)，f (x)的變化情況如下表

x

－1

(－1，0)

0

(０，2)

2

f ′ (x)

＋

0

－

0

f (x)

－2

ㄊ

2

ㄋ

－2

……………………………………………………………………………………………12分

   由上表可知，當x＝－1或2時，函數有最小值－2，當x=0時，函數有最大值2.

   ……………………………………………………………………………………………13分

(17)(本小題滿分14分)

   解：(Ⅰ)設任取一件作品顏色為綠色的事件為A. ………………………………………1分

   P(A)＝.………………………………………………………………………………… 4分

   答：任取一件作品顏色為綠色的概率為.

   (Ⅱ)設任取一件作品顏色為紅色的事件為B ……………………………………………5分

   P(B)=1－………………………………………………………………………… 7分

   ＝l－＝.……………………………………………………………………………… 8分

   答：任取一件作品顏色為紅色的概率為.

   (Ⅲ)設任取一件作品記下顏色后放回，連續取三次至少有兩件作品為紅色的

   事件為C.……………………………………………………………………………………9分

   P(C)＝()²()+()³()⁰………………………………13分(其中兩個算式各2分)

       ＝.…………………………………………………………………………………14分

  答：任取一件作品記下顏色后放回，連續取三次至少有兩件作品為紅色的概率為.

(18)(本小題滿分13分)

   解：(Ⅰ)∵a₁=－1，且a_n=3a_n－l－2n+3，(n=2，3，…)

   　　　 ∴a₂=3a_l－4+3=－4，…………………………………………………………… 2分

          a₃=3a₂－6+3=－15…………………………………………………………………4分

  當n≥2時，有

   a_n－n=3a_n－1－2n+3－n＝3(a_n－1－n＋1) …………………………………………6分

   且a₁－1=－2≠0，…………………………………………………………………7分

   所以數列{a_n－n}(n＝1，2，…)是一個以－2為首項，3為公比的等比數列……

          ……………………………………………………………………………………8分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)可得a_n－n＝－2?3^n－１，

　 　 ∴a_n＝n－2?3^n－1……………………………………………………………………9分

         ∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×3²)＋…＋(n－2×3^n－1)

         ＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×3²+…+2×3^n－1) ………………………11分

         ＝.……………………………………………13分

(19)(本小題滿分14分)

   解：(Ⅰ)∵曲線y=f (x)在點(0，f (0))處的切線與x軸平行，

      ∴f (0)＝0. ………………………………………………………………………………2分

      又f ′ (x)=3x²+2bx+c，則f ′ (0)＝c＝0.…………………………………………………4分

   (Ⅱ)由c＝0，方程f (x)－b²x＝0可化為x³+bx²－b²x+5＝0，

      假設存在實數b使得此方程恰有一個實數根，

      令g (x)＝x³+bx²－b²x＋5，則g (x)_極大值＜0或g (x)_極小值＞0.

      ∴g′ (x)=3x²+2bx－b²＝(3x－b)(x＋b).

      令g′ (x)＝0，得x₁＝，x₂＝－b.……………………………………………………5分

  ①若b＝0，則方程f (x)－b²x＝0可化為x³＋5＝0，此方程恰有一個實根

      x＝－.………………………………………………………………………………6分

   ②若b＞0，則＞－b，列表：

x

(?∞，?b)

－b

(－b，)

(，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

    ∴g (x)_極大值＝g(－b)＝b³+5＞0，g (x)_極小值＝g ()＝－＋5.

    ∴－＋5＞0，解之得0＜b＜3. ……………………………………………………9分

　　③若b＜0，則＜－b，列表：

x

(?∞，)

(，－b)

－b

(－b，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

   ∴g (x)_極大值＝g ()＝－＋5＞0，g (x)_極小值＝g(－b)＝b³+5.

   ∴b³+5＞0，解之得b＞－.

   ∴－＜b＜0. …………………………………………………………………………12分

   綜合①②③可得，實數b的取疽范圍是(－，3).…………………………………14分

(20)(本小題滿分14分)

   解：(Ⅰ)f (x)＝x²是其定義域上的T函數，………………………………………………2分

       證明如下：

       對任意實數x₁，x₂(x₁≠x₂)，

       有f (x₁＋x₂)－f (x₁)－f(x₂)

   ＝(x₁＋x₂)²－－

       ＝－(x₁－x₂)²＜0.

  即f (x₁＋x₂)＜f (x₁)＋f (x₂).

   ∴f(x)＝x²是其定義域上的T函數.……………………………………………………4分

   (Ⅱ)假設f (x)是R上的T函數，取x₁＝1，x₂＝－1，

       則有f (×1+×(－1))＜f (1)＋f (－1).

   ∵f (x)是奇函數，

   ∴f (－1)＝－f (1)，f (?)＝－f().

       ∴f()＞f (1).(#)

   同理，取x₁＝－1，x₂＝1，可證f ()＜f (1).

   與(#)式矛盾.

   ∴f (x)不是R上的T函數.……………………………………………………………9分

   (Ⅲ)對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α＝∈[0，1].

       ∵f (x)是R上的C函數，a_n＝f (n)，且a₀=0，a_m=2m，

   ∴a_n=f (n)=f (αx₁+(1－α)x₂)≤αf (x₁)+(1－α)f (x₂)=×2m=2n.

   那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤(2×(1+2+…+m)=m²+m.

   可證f (x)＝2x是C函數，且使得a_n＝2n (n＝0，l，2，…，m)都成立，

   此時S_f=m²+m.

   綜上所述，S_f的最大值為m²+m.………………………………………………………14分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.