Question

（2012•長春模擬）某學校為了研究學情，從高三年級中抽取了20名學生三次測試的數學成績和物理成績，計算出了他們三次成績的平均名次如下表：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數    學	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
學生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數    學	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

學校規定平均名次小于或等于40.0者為優秀，大于40.0者為不優秀．
（1）對名次優秀者賦分2，對名次不優秀者賦分1，從這20名學生中隨機抽取2名，用ξ表示這兩名學生數學科得分的和，求ξ的分布列和數學期望；
（2）根據這次抽查數據，是否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績優秀與否和數學成績優秀與否有關系？（下面的臨界值表和公式可供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（1）根據條件ξ的取值為2，3，4，分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．由此能求出ξ的分布列和數學期望Eξ．
（2）根據條件列出列聯表，求出K²和P（K²≥5.024）=0.025，因此根據這次抽查數據在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，可以認為物理成績優秀與否和數學成績優秀與否有關系．

解答：解：（1）根據條件ξ的取值為2，3，4，
而且在20人中，數學成績優秀的6人，不優秀的14人，所以有
P（ξ=2）=

C 2 14

C 2 20

=

91

190

，
P（ξ=3）=

C 1 6 C 1 14

C 2 20

=

84

190

，
P（ξ=4）=

C 2 6

C 2 20

=

15

190

．
所以ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	91 190	84 190	15 190

（6分）
數學期望Eξ=2×

91

190

+3×

84

190

+4×

15

190

=2.6．（8分）
（2）根據條件列出列聯表如下：

	物理優秀	物理不優秀	合計
數學優秀	4	2	6
數學不優秀	2	12	14
合計	6	14	20

所以K2=

20×(4×12-2×2)2

(4+2)×(2+12)×(4+2)×(2+12)

≈5.4875＞5.024．
又P（K²≥5.024）=0.025，
因此根據這次抽查數據在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，
可以認為物理成績優秀與否和數學成績優秀與否有關系．（12分）

點評：本小題主要考查統計與概率的相關知識，具體涉及到隨機變量的分布列、數學期望的求法和統計案例中獨立性檢驗等知識內容．