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閱讀下列命題
①函數f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一個對稱中心是(

-5π

12

，0)
②已知f(x)=

sinx，(sinx＜cosx) cosx，(cosx≤sinx)

，那么函數f（x）的值域是[-1，

2

2

]
③α，β均為第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
④f（x）=sinx，g（x）=cosx，直線x=a（a∈R）與y=f（x），y=g（x）的交點分別為M、N，那么|MN|的最大值為2．以上命題正確的有（　　）

已知函數f(x)=4cos2x-4

3

asinxcosx，將f（x）的圖象先向右平移

π

4

個單位，再向下平移2個單位后，所得到函數y=g（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）已知f(x-

π

6

)=2cosx-2，求sin²x+cosx的值．

對于函數f（x），g（x），h（x），如果存在實數a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么稱h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數．
（1）給出如下兩組函數，試判斷h（x）是否分別為f（x），g（x）的線性生成函數，并說明理由．
第一組：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
第二組：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的線性生成函數為h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實數t的取值范圍；
（3）已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，x∈[1，10]的線性生成函數h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b對a∈[1，2]恒成立，求實數b的取值范圍．

（2010•湖北模擬）定理：若函數f（x）在閉區間[m，n]上是連續的單調函數，且f（m）f（n）＜0，則存在唯一一個x₀∈（m，n）使f（x₀）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤

π

2

)．
（1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤

π

2

)是減函數，求a的取值范圍．
（2）是否存在c，d∈(0，

π

2

)使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同時成立，若存在，指出c、d之間的等式關系，若不存在，請說明理由．