Question

已知函數f(x)=4cos2x-4

3

asinxcosx，將f（x）的圖象先向右平移

π

4

個單位，再向下平移2個單位后，所得到函數y=g（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）已知f(x-

π

6

)=2cosx-2，求sin²x+cosx的值．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角的三角函數公式，化簡得f(x)=2cos2x-2

3

asin2x+2，再由函數圖象平移的公式得到g（x）的表達式，由三角函數圖象的對稱軸公式建立關于a的等式，解之即可得到實數a的值；
（II）由（I）得f(x)=4cos(2x+

π

3

)+2，結合f(x-

π

6

)=2cosx-2建立關于cosx的方程解出cosx=0或

1

4

，再代入計算即可得到sin²x+cosx的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，化簡f(x)=2cos2x-2

3

asin2x+2，
將f（x）的圖象先向右平移

π

4

個單位，再向下平移2個單位后的解析式為g(x)=f(x-

π

4

)-2=2sin2x+2

3

acos2x，…（3分）
∵g（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱，
∴g(0)=g(

π

6

)，可得2

3

a=

3

+

3

a，解得a=1…（6分）
（Ⅱ）f(x)=2cos2x-2

3

sin2x+2=4cos(2x+

π

3

)+2
由f(x-

π

6

)=2cosx-2得：4cos2x+2=2cosx-2…（8分）
即cosx（4cosx-1）=0
所以cosx=0，或cosx=

1

4

…（10分）
又sin²x+cosx=1-cos²x+cosx
所以sin²x+cosx=1，或sin2x+cosx=

19

16

…（12分）

點評：本題給出函數圖象的平移，在平移后的圖象關于直線x=

π

12

對稱的情況下求函數表達式，并依此求三角式的值．著重考查了三角恒等變換公式、同角三角函數的關系和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．