題目列表(包括答案和解析)
設函數f(x)＝ka x- a-x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）若f(1)>0，試判斷函數單調性并求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
（3）若f(1)＝，且g(x)＝a 2x＋a - 2x－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值為－2，求m的值．
（12分）已知函數
在[1，＋∞）上為增函數， 且
，
，
．
（1）求
的值；（2）若
在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（3）設
，若在[1，e]上至少存在一個
，使得
成立，求
的取值范圍．
已知函數
在[1，＋∞）上為增函數，且θ∈（0，π），
，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若
在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（3）設
，若在[1，e]上至少存在一個
，使得
成立，求
的取值范圍．
已知二次函數f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.
（1）求f(x)的解析式；
（2）若f(x)在區間［2a,a+1］上不單調，求實數
的取值范圍；
（3）在區間［－1,1］上，y=f(x)的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍.
（本小題滿分14分）已知函數f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定義域為[－2，t](t>－2)，設f(－2)＝m，f(t)＝n.
(1)試確定t的取值范圍，使得函數f(x)在[－2，t]上為單調函數；
(2)求證：n>m；
(3)若t為自然數，則當t取哪些值時，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三個不相等的實數根，并求出相應的實數m的取值范圍.
A．必做題部分
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合
，則集合
= ▲ ．
2． 已知函數
，則
的最小正周期是 ▲ ．
3． 經過點（－2，3），且與直線
平行的直線方程為 ▲ ．
4． 若復數
滿足
則
▲ ．
5． 程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序輸出的結果是 ▲ ．
6． 若
的方差為3，則
的方差
為 ▲ ．
7． 正方體ABCD－A1B
，則四面體
的外接球的體積為 ▲ ．
8． 以橢圓
的左焦點
為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是 ▲ ．
9． 設a＞0，集合A={（x，y）|
}，B={（x，y）|
}．若點P（x，y）∈A是點P（x，y）∈B的必要不充分條件，則a的取值范圍是 ▲ ．
10．在閉區間 [－1，1]上任取兩個實數，則它們的和不大于1的概率是 ▲ ．
11．數列
中，
，且
（
，
），則這個數列的通項公式
▲
．
12．根據下面一組等式：
…………
可得
▲ ．
13．在△ABC中，
，D是BC邊上任意一點（D與B、C不重合），且
，則
等于 ▲ ．
14．設函數
，記
，若函數
至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是
▲ ．
答案：1．{6，7} 2．
3．
4．
5．24 6．27 7．
8．
9．0＜a≤
10．
11．
12．
13．
14．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題14分）
如圖，在正三棱柱ABC－A1B
（1）求證：AD⊥平面BC C1 B1；
（2）設E是B
的值為多少時，
A1E∥平面ADC1？請給出證明．
解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD
平面ABC，
∴ AD⊥C C1．………………………………………2分
又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1內，
∴ AD⊥面BC C1 B1． ……………………………………………………………5分
（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中點．………………………7分
當
，即E為B
事實上，正三棱柱ABC－A1B
又B1B∥AA1，且B1B=AA1，
∴DE∥AA1，且DE=AA1． ……………………………………………………………12分
所以四邊形ADE A1為平行四邊形，所以E A1∥AD．
而E A1
面AD C1內，故A1E∥平面AD C1． ………………………………………14分
16．（本小題14分）
如圖，在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且
．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）設△ABD的面積為S△ABD，△BCD的面積為S△BCD，求
的值．
解 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
則AC=10，
．………………2分
又∵，AB=13，
∴
． …………………………4分
∵
，∴
． …………………………………………………5分
∴
．……………………………………………………8分
（2）
，
，
， 11分
則
，∴
．……………………………………14分
17．（本小題15分）
某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了
日 期
溫差
（°C）
10
11
13
12
8
發芽數
（顆）
23
25
30
26
16
該農科所確定的研究方案是:先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；
（2）若選取的是
；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠?
解：（1）設抽到不相鄰兩組數據為事件
，因為從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種， ………………2分
所以 
．…………………………………………………………………4分
答：略． ……………………………………………………………………………………5分
（2）由數據，求得
．………………………………………………………………7分
由公式，求得
，
． …………………………………………………9分
所以y關于x的線性回歸方程為
． …………………………………………10分
（3）當x=10時，
，|22－23|＜2；…………………………………………12分
同樣，當x=8時，
，|17－16|＜2．……………………………………14分
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的． ……………………………………15分
18．（本小題15分）
拋物線
的焦點為F，
在拋物線上，且存在實數λ，使
0，
．
（1）求直線AB的方程；
（2）求△AOB的外接圓的方程．
解：（1）拋物線的準線方程為
．
∵
，∴A，B，F三點共線．由拋物線的定義，得|
|=
． …1分
設直線AB：
，而
由
得
． ……………………………………………3分
∴
||== 
．∴
．……………6分
從而
，故直線AB的方程為
，即
．……………………8分
（2）由
求得A（4，4），B（
，－1）．……………………………………10分
設△AOB的外接圓方程為
，則
解得
………………………………………………14分
故△AOB的外接圓的方程為
．…………………………………15分
19．（本小題16分）
已知函數
在[1，＋∞）上為增函數，且θ∈（0，π），
，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若
在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（3）設
，若在[1，e]上至少存在一個
，使得
成立，求
的取值范圍．
解：（1）由題意，
≥0在
上恒成立，即
．………1分
∵θ∈（0，π），∴
．故
在上恒成立，…………………2分
只須
，即
，只有
．結合θ∈（0，π），得
．……4分
（2）由（1），得
．
．…………5分
∵在其定義域內為單調函數，
∴
或者
在[1，＋∞）恒成立．………………………6分
等價于
，即
，
而 
，（
）max=1，∴
． …………………………………………8分
等價于
，即
在[1，＋∞）恒成立，
而
∈（0，1]，
．
綜上，m的取值范圍是
． ………………………………………………10分
（3）構造
，
．
當時，
，
，
，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立． ………………………………………………………12分
當
時，
．…………………………14分
因為，所以
，
，所以
在恒成立．
故
在
上單調遞增，
，只要
，
解得
．
故的取值范圍是
．………………………………………………………16分
20．（本小題16分）
已知等差數列
的首項為a，公差為b，等比數列
的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且
．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的
，總存在
，使得
成立，求b的值；
（3）令
，問數列
中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．
解：（1）由已知，得
．由，得
．
因a，b都為大于1的正整數，故a≥2．又
，故b≥3． …………………………2分
再由
，得 
．
由，故
，即
．
由b≥3，故
，解得
． ………………………………………………………4分
于是
，根據
，可得
．…………………………………………………6分
（2）由，對于任意的
，均存在，使得
，則
．
又
，由數的整除性，得b是5的約數．
故
，b=5．
所以b=5時，存在正自然數
滿足題意．…………………………………………9分
（3）設數列中，
成等比數列，由
，
，得
．
化簡，得
． （※） …………………………………………11分
當
時，
時，等式（※）成立，而，不成立． …………………………12分
當
時，
時，等式（※）成立．…………………………………………………13分
當
時，
，這與b≥3矛盾．
這時等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分
綜上所述，當
時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50．…………………………………………16分
B．附加題部分
21．（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4－1（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD
切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是
OB的中點，求BC的長．
解：連接OD，則OD⊥DC．
在Rt△OED中，OE=
OB=OD，
∴∠ODE=30°． ………………………………3分
在Rt△ODC中，∠DCO=30°， ………………5分
由DC=2，則OB=OD=DCtan30°=
，
……………………9分
所以BC=OC－OB=． …………………………………………………………………10分
B．選修4－2（矩陣與變換）
將曲線
繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，求所得曲線的方程．
解：由題意，得旋轉變換矩陣
， ……………………3分
設上的任意點
在變換矩陣M作用下為
，
，
∴
………………………………………………………………………7分
得
．
將曲線繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，所得曲線的方程為．……10分
C．選修4－4（坐標系與參數方程）
求直線
（t為參數）被圓
（α為參數）截得的弦長．
解：把直線方程化為普通方程為
．…………………………………………3分
將圓化為普通方程為
．……………………………………
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