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(本小題12分)
隨機調查某社區80個人,以研究這一社區居民在20:00-22:00時間段的休閑方式與性別有關系,得到下面的數據表:

休閑方式 性別	看電視	看書	合計
男	10	50	60
女	10	10	20
合計	20	60	80

(1)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調查3名在該社區的男性,設調查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量,求的分布列和期望;
(2)根據以上數據,能否有99%的把握認為“在20:00-22:00時間段的休閑方式與性別有關系”?
參考公式: ,其中
參考數據:

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.042	6.635

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為調查某社區居民的業余生活狀況，研究這一社區居民在20：00－22：00時間段的休閑方式與性別的關系，隨機調查了該社區80人，得到下面的數據表：

休閑方式 性別	看電視	看書	合計
男	10	50	60
女	10	10	20
合計	20	60	80

 
(1)將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查3名在該社區的男性，設調查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；
(2)根據以上數據，我們能否在犯錯誤的概率不超過0．01的前提下，認為“在20：00－22：00時間段居民的休閑方式與性別有關系”？
參考公式：K²＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
參考數據：

P(K2≥k0)	0．15	0．10	0．05	0．025	0．010
k0	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635

 

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

B

C

D

C

B

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

11．      12．    13．     14．    15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z）等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

             .                                6分

∴.                                            8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 . ……………………10分

此時，即Z. ……………………12分

17. (本小題滿分12分)

解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數為人. ………… 3分

∵各班被抽取的學生人數成等差數列,設其公差為,

由=100,解得.  …………………………………… 6分

∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人. …… 8分

(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.  ………………………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵ ⊥平面，平面，     

∴ ⊥.             ………………………………………………2分

∵ ⊥，，

∴ ⊥平面， ……………………………………………………4分

∵ 平面，

∴ ⊥.      …………………………………………………………6分

（2）法1: 取線段的中點，的中點，連結,

則是△中位線.

∴∥，，  …………………………8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，  …………………………10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.       …………………………………… 13分

∴ 線段的中點是符合題意要求的點． ……………………………………14分

 法2: 取線段的中點，的中點，連結,

則是△的中位線.

∴∥，，  …………………………8分

∵平面, 平面,

∴平面.                        

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，  ……………………………………10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                       

∵,

∴平面平面.……………………………………………………12分

∵平面,

∴∥平面.                                         

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．………………………………   14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,      …………………………………………2分            

    ∵,

∴.    ………………………………………… 5分

∴所求橢圓的方程為.  …………………………………………6分

（2）∵ 點關于直線的對稱點為，

∴                                        

解得：，.          …………………………8分

∴.                            ……………………………10分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.………………………………………………12分

∴的取值范圍為.      …………………………………………14分

20. (本小題滿分14分)

(1) 解：當時，.　               ……………………………………1分                       

　  當時，

.               …………………………………………4分

∵不適合上式,

∴　　    ………………………………………………………5分

（2）證明: ∵.

當時，            ………………………………………………6分

當時，,　　　       ①

.　 　②

①－②得:

得，     …………………………………………10分

此式當時也適合.

∴N.　　                              

　         　∵，

∴.                   …………………………………………………11分

當時，，

∴.                                    

∵，

∴.　                                    

故，即.   ……………………………………………13分

綜上，．       ………………………………14分

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當時，，

∴.                    

       令=0, 得 .     ………………………………………………2分

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.         …………………………2分

∴ 當時, 取得極大值為;…………………………4分

當時, 取得極小值為. ………………………6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                         

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．   ……………………9分

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                        

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

∵,

∴.

∴

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）?f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

          而當時,,

          故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.                                     

綜上所述，a的取值范圍是．            ……………………………………14分