題目列表(包括答案和解析)
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．如圖是函數
的圖象，則其解析式是（ ）
A．
B．
C．
D. 
C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B錯；
＋
＝
＝
≥4，故A錯；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D錯．故選C.
．本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓E：
，焦點為
、
，雙曲線G：
的頂點是該橢
圓的焦點，設
是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線
、
與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形
的周長等于
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為.
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線、的斜率分別為
和
，探求和
的關系；
（3）是否存在常數
，使得
恒成立？
若存在，試求出的值；若不存在， 請說明理由．
．定義域為R的函數
滿足
，且當
時，
，則當
時，
的最小值為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
11．
12．
13．
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z）等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
.
6分
∴
.
8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 . ……………………10分
此時
，即
Z
. ……………………12分
17. (本小題滿分12分)
解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數為
人. ………… 3分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列,設其公差為
,
由
=100,解得
. …………………………………… 6分
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人. …… 8分
(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………………………12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵ 
⊥平面
，
平面，
∴
⊥.
………………………………………………2分
∵
⊥
，
，
∴
⊥平面
， ……………………………………………………4分
∵
平面，
∴
⊥. …………………………………………………………6分
（2）法1: 取線段
的中點
，
的中點
，連結
,
則
是△
中位線.
∴∥
，
， …………………………8分
∵
，
，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形， …………………………10分
∴ 
.
∵ 
平面
，
平面，
∴ ∥平面. …………………………………… 13分
∴
線段的中點是符合題意要求的點． ……………………………………14分
法2: 取線段的中點，的中點，連結
,
則是△的中位線.
∴∥，
， …………………………8分
∵
平面, 
平面,
∴
平面.
∵
，，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形， ……………………………………10分
∴ 
.
∵ 
平面，
平面，
∴ ∥平面
.
∵
,
∴平面
平面.……………………………………………………12分
∵
平面
,
∴∥平面.
∴
線段的中點是符合題意要求的點．……………………………… 14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…………………………………………2分
∵
,
∴
. ………………………………………… 5分
∴所求橢圓
的方程為
. …………………………………………6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
解得：
，
.
…………………………8分
∴
.
……………………………10分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.………………………………………………12分
∴
的取值范圍為
. …………………………………………14分
20. (本小題滿分14分)
(1) 解：當
時，
.
……………………………………1分
當
時，
.
…………………………………………4分
∵
不適合上式,
∴
………………………………………………………5分
（2）證明: ∵
.
當
時，
………………………………………………6分
當時，
,
①
. ②
①－②得:
得
， …………………………………………10分
此式當時也適合.
∴
N
.
∵
，
∴
.
…………………………………………………11分
當時，
，
∴
.
∵
，
∴
.
故
，即
. ……………………………………………13分
綜上，
．
………………………………14分
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
.
………………………………………………2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
…………………………2分
∴ 當
時, 取得極大值為
;…………………………4分
當
時, 取得極小值為
. ………………………6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0，
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． ……………………9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而當
時,
,
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.
綜上所述，a的取值范圍是
．
……………………………………14分
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