建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，

   （I）證明：

連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

設A₁A = AB = 1，

則

 …………………………3分

，

 ……………………………………4分

   （II）解：， ，

設是平面AB₁D的法向量，則，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………7分

設二面角B―AB₁―D的大小為θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小為 …………………………9分

   （III）解由（II）得平面AB₁D的法向量為，

取其單位法向量

∴點C到平面AB₁D的距離 ……………………14分

18．（本小題滿分14分）

   （I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故

將，得

      ① ………………………… 3分

由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得

，

即 …………………………………………………… 5分

   （II）解：設由①，得

因為，代入上式，得  ……………8分

于是，△OAB的面積

                       ………………11分

其中，上式取等號的條件是 ……………………12分

由

將這兩組值分別代入①，均可解出

所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分

19．（本小題滿分14分）

   （I）解：對函數 ……………………… 2分

要使上是增函數，只要上恒成立，

即上恒成立 ……………………………………4分

因為上單調遞減，所以上的最小值是，

注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分

   （II）解：①當時，由（I）知，上是增函數，

此時上的最大值是 ……………………8分

②當，

解得 ……………………………………………………10分

因為，

所以上單調遞減，

此時上的最大值是………… 13分

綜上，當時，上的最大值是；

當時，上的最大值是 ……………14分

20．（本小題滿分14分）

   （I）解：顯然 ……………………………………1分

當 ……………………………………3分

所以，

          …………………………6分

   （II）解：

   ………………………………………………9分

     ………………12分

當

所以，M的最小值為 ………………………………14分