Question

設甲、乙兩套試驗方案在一次試驗中成功的概率均為p，且這兩套試驗方案中至少有一套試驗成功的概率為0.51，假設這兩套試驗方案在試驗過程中，相互之間沒有影響．設試驗成功的方案的個數ξ．
（1）求p的值；
（2）求ξ的數學期望Eξ與方差Dξ．

Answer 1

解：（1）記“這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功”的事件為A，
則“至少有一套試驗成功”的事件為．
由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1-p．
所以P（A）=（1-p）²，．
令1-（1-p）²=0.51，解得p=0.3．
（2）ξ的取值為0，1，2．（7分）P（ξ=0）=（1-0.3）²=0.49，
P（ξ=1）=2×0.3×（1-0.3）=0.42，P（ξ=2）=0.3²=0.09．
所以ξ的分布列為

ξ	O	1	2
P	0.49	0.42	0.09

ξ的數學期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）=0.6，
方差Dξ=（0-0.6）²×0.49+（1-0.6）²×0.42+（2-0.6）²×0.09=0.42．
分析：（1）由題意記“這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功”的事件為A，利用獨立事件同時發生的概率公式及對立事件的定義可以求解；
（2）由題意由于驗成功的方案的個數ξ，又隨機變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，利用獨立事件同時發生的概率公式求出該變量的分布列，并代入公式求出期望及方差．
點評：此題考查了離散型隨機變量的定義，隨機變量的分布列，期望方差及獨立事件同時發生的概率．