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在正三棱錐PABC中，D，E分別是AB，BC的中點，下列結論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中錯誤的結論個數是( )
在正三棱錐P ?ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，下列結論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正確結論的序號是________．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
2,4,6
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9．120 10．5 11． 12． 13．1（2分），（3分）
14．4（2分），（3分）
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分12分）
（I）解：因為α為第二象限的角，，
所以，，………………………………………2分
……………………………………………………… 4分
又，
所以， …………………………… 6分
（II）解：因為β為第三象限的角，，
所以， …………………………………………8分
又，………10分
所以， ………………12分
16．（本小題滿分12分）
（I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為
由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.
所以，，
從而，
令 ………………………………………6分
（II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分
……………………………………………………10分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
ξ的數學期望……12分
解法一（I）證明：
連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE.
∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
∴四邊形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中點，
又D是BC的中點，
∴DE∥A1C. ………………………… 3分
∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分
（II）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內作FG⊥AB1于點G，連接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分
設A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1內作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，
則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分
由△CDH∽△B1DB，得
即點C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分
建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，
（I）證明：
設A1A = AB = 1，
則
…………………………3分
，
……………………………………4分
（II）解：， ，
設是平面AB1D的法向量，則，
故；
同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
設二面角B―AB1―D的大小為θ，，
∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
取其單位法向量
∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分
18．（本小題滿分14分）
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故
將，得
① ………………………… 3分
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
即 …………………………………………………… 5分
（II）解：設由①，得
因為，代入上式，得 ……………8分
于是，△OAB的面積
………………11分
其中，上式取等號的條件是 ……………………12分
由
將這兩組值分別代入①，均可解出
所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
19．（本小題滿分14分）
（I）解：對函數 ……………………… 2分
要使上是增函數，只要上恒成立，
即上恒成立 ……………………………………4分
因為上單調遞減，所以上的最小值是，
注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
（II）解：①當時，由（I）知，上是增函數，
此時上的最大值是 ……………………8分
②當，
解得 ……………………………………………………10分
因為，
所以上單調遞減，
此時上的最大值是………… 13分
綜上，當時，上的最大值是；
當時，上的最大值是 ……………14分
20．（本小題滿分14分）
（I）解：顯然 ……………………………………1分
當 ……………………………………3分
所以，
…………………………6分
（II）解：
………………………………………………9分
………………12分
當
所以，M的最小值為 ………………………………14分
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12．
13．1（2分），
（3分）
（3分）
，
，………………………………………2分
……………………………………………………… 4分
，
…………………………… 6分
…………………………………………8分
，………10分
………………12分
，
………………………………………6分
……………………………………………………10分
……12分
平面AB1D，A1C
平面AB1D，
，
，
…………………………9分
……………………………………14分
…………………………3分
，
……………………………………4分
， 
，
是平面AB1D的法向量，則
，
；
……………………7分
，
…………………………9分
，
……………………14分
，得
① ………………………… 3分
，
…………………………………………………… 5分
由①，得
，代入上式，得
……………8分
………………11分
……………………12分
這兩組值分別代入①，均可解出
………………14分
……………………… 2分
上是增函數，只要
上恒成立，
上恒成立 ……………………………………4分
上單調遞減，所以
，
……………………………………6分
時，由（I）知，
……………………8分
，
……………………………………………………10分
，
上單調遞減，
………… 13分
；
時，
……………14分
……………………………………1分
……………………………………3分
…………………………6分
………………………………………………9分
………………12分
………………………………14分