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如圖，已知是底面為正方形的長方體，
，，點是上的動點．
（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面？并證明你的結論；
（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

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如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點P是AD₁上的動點．
（1）試求四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積的最大值；
（2）試判斷不論點P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并證明你的結論．

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一．選擇題：BACAC  DADBC

解析：

1.，復數  對應的點為，它與原點的距離是，故選B.

2．，但.故選A.

4．把直線向下平移二個單位，則點到直線的距離就相等了，故點的軌跡為拋物線，它的方程為，選A．

5．依題意知，，，又，，，，故選C.

6．當時，等價于，當時，等價于，故選D.

7．∵是等差數列，，，∴，，

∴，故選A.

8．由三視圖知該工作臺是棱長為80的正方體上面圍上一塊矩形和兩塊直角三角形合

板，如右圖示，則用去的合板的面積故選D．

9．，，故選B.

10．由，可得： 知滿足事件A的區域的面積

，而滿足所有條件的區域的面積：，從而，

得：，故選C．

二．填空題： 11. 18;12. ;13.;14. ；15.、.

解析：11．按系統抽樣的方法，樣本中4位學生的座位號應成等差數列，將4位學生的座位號按從小到大排列，顯然6，30不可能相鄰，也就是中間插有另一位同學，其座位號為（6＋30）÷2＝18，故另一位同學的座位號為18．

12．

13．設人經過時間ts后到達點B,這時影長為AB=S，如圖由平幾的知識

可得，=，由導數的意義知人影長度

的變化速度v＝（m/s）

14．曲線為拋物線段

借助圖形直觀易得

15.由切割線定理得,,

連結OC，則,,

三．解答題：

16.解：（1）---3分

∴函數的最小正周期為，值域為。--------------------------------------5分

（2）解法1：依題意得： ---------------------------6分

∵   ∴

∴＝-----------------------------------------8分

＝

∵＝

∴＝------------------------------------------------------------------------------13分

解法2：依題意得： 得----①-----------7分

∵   ∴

∴＝---------------------------------9分

由＝得-----------②----------------10分

①+②得，∴＝-------------------------13分

解法3：由得，--------------------7分

兩邊平方得，，--------------------------9分

∵  ∴由知

∴--------------------------------------11分

由，得

∴ ∴＝．---------------------------------13分

17．解：（1）∵是長方體  ∴側面底面

∴四棱錐的高為點P到平面的距離---------------------2分

當點P與點A重合時，四棱錐的高取得最大值，這時四棱錐體積最大----------------------------------------------------------------------------------------------------3分

在中∵ ∴，------------- 4分

---------------------------------------------------5分

∴-----------------------------------7分

（2）不論點在上的任何位置，都有平面垂直于平面.-------8分

證明如下：由題意知，，

又    平面

又平面   平面平面．------------------- 13分

18．解：（1）設“兩個編號和為8”為事件A,則事件A包含的基本事件為（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5個，又甲、乙兩人取出的數字共有6×6＝36（個）等可能的結果，

故-----------------------------------------------------------------6分

（2）這種游戲規則是公平的。----------------------------------------------------------------------------7分

設甲勝為事件B,乙勝為事件C，則甲勝即兩編號和為偶數所包含的基本事件數有18個：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)

所以甲勝的概率,乙勝的概率＝---------------------------11分

所以這種游戲規則是公平的。---------------------------------------------------------------------------------12分

19．解：（1）由橢圓的方程知，∴點，，

設的坐標為，

∵FC是的直徑，∴

∵  ∴ -------------------------2分

∴，-------------------------------------------------3分

解得 -----------------------------------------------------------------------5分

∴橢圓的離心率---------------------------------6分

（2）∵過點F,B,C三點，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，FC的垂直平分線方程為--------①-----------------------------------7分

∵BC的中點為，

∴BC的垂直平分線方程為-----②---------------------9分

由①②得，即--------------------11分

∵P在直線上，∴

∵  ∴--------------------------------------------------13分

由得

∴橢圓的方程為------------------------------------------------------------------14分

20.解：（1）當時，由得，

；（且）------------------------------------------------------2分

當時，由.得--------------------------------------4分

∴---------------------------5分

（2）當且時，由<0,解得，---------------------------6分

當時，------------------------------8分

∴函數的單調減區間為（－1，０）和（０，1）-----------------------------------------------9分

（3）對，都有即，也就是對恒成立，-------------------------------------------11分

由（2）知當時，

∴函數在和都單調遞增-----------------------------------------------12分

又，

當時，∴當時，

同理可得，當時，有，

綜上所述得，對， 取得最大值2；

∴實數的取值范圍為.----------------------------------------------------------------14分

21．解：（1）由得

∴或--------------------------------------2分

∵，∴不合舍去-------------------------------------------3分

由得

方法1：由得

∴數列是首項為，公比為的等比數列----------------------5分

〔方法2：由得

當時

∴（）

∴數列是首項為