Question

如圖，已知是底面為正方形的長方體，，，點是上的動點．

（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并證明你的結論；

（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

Answer 1

（1）不論點在上的任何位置，都有平面垂直于平面.

證明如下：由題意知，，   又 

  平面  又平面   平面平面．

（2）解法一：過點P作，垂足為，連結（如圖），則，

是異面直線與所成的角．

在中 ∵   ∴

∴,   ，      

 ．  又．

在中，   ．

異面異面直線與所成角的余弦值為．

解法二：以為原點，所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示，則，，，，，

∴．

∴異面異面直線與所成角的余弦值為．

（3）由（1）知，平面，是與平面所成的角，

且．

當最小時，最大，這時，由

得，即與平面所成角的正切值的最大值．