定義在R上的函數f（x）滿足：f（x+y）=f（x）f（y），且當x＞0時，f（x）＞1．數列{a_n}滿足a_n=1-3k，f（a_n+1）=．
（1）求f（0）的值，并證明f（x）是定義域上的增函數：
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設0＜a＜b_nS_n為數列{a_n}的前n項和，是否存在實數k，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c （c是常數）；
②對于D內任意x₂，當x₂∉[a，b]時總有f（x₂）＞c稱f（x）為“平底型”函數．
（1）（理）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（文）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）（理）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（文）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數，求m和n滿足的條件．