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如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，P點在A₁B₁上，且滿足=λ（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

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（2012•自貢三模）如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，P點在A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

BBDD  CABC  BCDB

二、填空題：本大題共4小 題，每小題4分，共16分。

13．8500

14．

15．

16．①③

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：（I）依題意，

       由正弦定理及   3分

          6分

   （II）由

       由（舍去負值）   8分

       從而，   9分

       由余弦定理，得

       代入數值，得

       解得   12分

18．解：（I）隨意抽取4件產品進行檢查是隨機事件，而第一天有9件正品，

第一天通過檢查的概率為錯誤！嵌入對象無效。    2分

第二天通過檢查的概率為 錯誤！嵌入對象無效。   4分

因為第一天、第二天檢查是否通過是相互獨立的，

所以兩天全部通過檢查的概率為錯誤！嵌入對象無效。   6分

   （II）記所得獎金為元，則的取值為-300，300，900   7分

          10分

       （元）   12分

19．解：（I）如圖，以AB，AC，AA₁分別為軸，建立空間直角坐標系

       則   2分

       從而

       所以   3分

   （II）平面ABC的一個法向量為

       則

       （※）   5分

       而

       由（※）式，當   6分

   （III）平面ABC的一個法向量為

       設平面PMN的一個法向量為

       由（I）得

       由   7分

       解得   9分

       平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，

       解得   11分

       故點P在B₁A₁的延長線上，且   12分

20．（本小題滿發12分）

       解：（I）由題設知   1分

       同時

       兩式作差得

       所以

       可見，數列

          4分

   （II）   5分

           7分

   （III）

          9分

    ①當

       解得符合題意，此時不存在符合題意的M。   10分

       ②當

       解得此時存在的符合題意的M=8。   11分

       綜上所述，當時，存在M=8符合題意   12分

21．解：（I）因為

       所以

       因為上是增函數。

       所以上恒成立     1分

       當

       而上的最小值是-1。

       于是（※）

    可見

       從而由（※）式即得   ①   4分

       同時，

       由

       解得②，

       或

       由①②得

       此時，即為所求    6分

       注：沒有提到（驗證）時，不扣分。

   （II）由（I），

       于是   7分

       以下證明（☆）

   （☆）等價于   8分

       構造函數

       則時，

       上為增函數。

       因此當

       即

       從而得到證明。    11分

       同理可證   12分

       注：沒有“綜上”等字眼的結論，扣1分。

22．（I）設得

       即    2分

       由

       則

       所以（※）   4分

       又因為

       則

       代入（※）式得

       可見，無關。    6分

   （II）如圖，設

       由（I）知   7分

    又

       所以   8分

       將點A的坐標代入曲線C₁的方程得

       則  10分

       當且僅當“=”成立時，有   11分

       解得   14分