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、（滿分14分）如圖，正方體的棱長為2，E為AB的中點．
(Ⅰ)求證：
(Ⅱ)求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值。

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　　如圖，正方體，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點，且AE＝BF＝x．

　　（1）當x為何值時，三棱錐的體積最大？

　　（2）求三棱椎的體積最大時，二面角的正切值；

　　（3）（理科做）求異面直線與所成的角的取值范圍．

 

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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值．

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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2，E、F分別為棱DD₁、AB上的點．已知下列命題：
①AC₁⊥平面B₁EF；
②三角形B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值2的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點E的位置有關，與點F的位置無關．
其中，假命題有

①④

①④

（寫出所有符合要求命題的序號）

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一、選擇題BBCAA   BBAAD  

 11、-6    12、    13、4     14、   15、

16．解：（1）在中，由，得……………………2分

又由正弦定理 ………3分   得：………………4分

（2）由余弦定理：得：……6分

即，解得或（舍去），所以………………8分

所以，……………10分

，即…………………… ……… ……12分

18、（本小題滿分14分）

（1）連接BD，由已知有

得………………………………（1分）

又由ABCD是正方形，得：…（2分）

∵與BD相交，∴…………………………（3分）

（2）延長DC至G，使CG=EB，,連結BG、D₁G ，

          ，∴四邊形EBGC是平行四邊形.

∴BG∥EC.   ∴就是異面直線BD₁與CE所成角…………………………（5分）

在中，    …………………（6分）

異面直線 與CE所成角的余弦值是 ……………………………（8分）

（3）∵    ∴  

又∵     ∴ 點E到的距離  ……………（9分）

有：    ，  ………………（11分）

 又由  ，  設點B到平面的距離為，

則：

有：           …………………………………（13分）

   所以：點B到平面的距離為。……………（14分）

19.解：（1）由題意可知當

……3分

           每件產品的銷售價格為……………………………4分

∴2009年的利潤

                           ………………… 7分

      （2），……………………………11分

         （萬元）13分

        答：（略）…………………………………………………………………… 14分

20、解：（Ⅰ）圓， 半徑

QM是P的中垂線，連結AQ，則|AQ|=|QP|

  又，

根據橢圓的定義，點Q軌跡是以C（－，0），A（，0）為焦點，長軸長為2  的

橢圓，………2分

由因此點Q的軌跡方程為………………4分

（Ⅱ）（1）證明：當直線l垂直x軸時，由題意知：

不妨取代入曲線E的方程得：  

即G（，），H（，－）有兩個不同的交點，………………5分

當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為：

由題意知：

由

∴直線l與橢圓E交于兩點，  綜上，直線l必與橢圓E交于兩點…………8分

（2）由（1）知當直線l垂直x軸時，

………………9分

當直線l不垂直x軸時

設（1）知 

…………………………10分

當且僅當，則取得“=”

……………………12分

當k=0時，   綜上，△OGH的面積的最小值為…14分

21．解：（1）在已知式中，當時，

    ∵   ∴…………2分

  當時，   ①      ②

    ①－②得，

    ∵       ∴=    ③

    ∵適合上式…………4分   當時，         ④

     ③－④得：

  ∵ ∴∴數列是等差數列，首項為1，公差為1，可得

（2）假設存在整數，使得對任意 ，都有．

∵     ∴

     ∴

∴ ⑤……………………………………………8分

當（）時，⑤式即為  ⑥

依題意，⑥式對都成立，∴λ<1……………………………………10分

當（）時，⑤式即為  ⑦

依題意，⑦式對都成立， ∴……………12分

∴∴存在整數，使得對任意，都有…14分