Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2，E、F分別為棱DD₁、AB上的點．已知下列命題：
①AC₁⊥平面B₁EF；
②三角形B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值2的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點E的位置有關，與點F的位置無關．
其中，假命題有

①④

（寫出所有符合要求命題的序號）

Answer 1

分析：由正方體的結構特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關系直接判斷正誤即可

解答：解：對于①A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，因為A₁C⊥平面AC₁D，而兩個平面面B₁EF與面AC₁D不一定平行．
對于②△B₁EF在側面BCC₁B₁上 的正投影是面積為定值的三角形，此是一個正確的結論，因為其投影三角形的一邊是棱BB₁，而E點在面上的投影到此棱BB₁的距離是定值，故正確；
對于③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線，此兩平面相交，一個面內平行于兩個平面的交線一定平行于另一個平面，此結論正確；
對于④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點E的位置有關，與點F的位置無關，此結論不對，與兩者都有關系，可代入幾個特殊點進行驗證，如F與A重合，E與D重合時的二面角與F與B重合，E與D重合時的情況就不一樣．故此命題不正確
綜上所述假命題是①④
故答案為：①④

點評：本題考點是棱柱的結構特征，考查對正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關系的判定，二面角的求法等知識，涉及到的知識點較多，綜合性強．