題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 設(shè)
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用
關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)
時(shí)，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)
時(shí), 
,命題成立;
②假設(shè)
時(shí),命題成立,即
,
則當(dāng)
時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí)，命題成立.
綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，公差為4，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列 {
}的前n項(xiàng)和為（ �。�
|
| A． |
| B． |
| C． |
| D． |
|
| 考點(diǎn)： | 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． |
| 專題： | 等差數(shù)列與等比數(shù)列． |
| 分析： | 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出Sn，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列 { |
| 解答： | 解：∵Sn=4n+ ∴ ∴數(shù)列 { 故選A． |
| 點(diǎn)評(píng)： | 熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”是解題的關(guān)鍵． |
已知點(diǎn)
（
）,過點(diǎn)
作拋物線
的切線，切點(diǎn)分別為
、
（其中
）．
（Ⅰ）若
，求
與
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若以點(diǎn)為圓心的圓
與直線
相切，求圓的方程；
（Ⅲ）若直線的方程是
，且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，
求圓面積的最小值．
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線
與曲線
相切，且過點(diǎn)
，∴
，利用求根公式得到結(jié)論先求直線
的方程，再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑，從而得到圓的方程。
（3）∵直線的方程是，，且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑，即
，借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
（Ⅰ）由
可得，
． ------1分
∵直線與曲線相切，且過點(diǎn)，∴，即
，
∴
，或
， --------------------3分
同理可得：
，或
----------------4分
∵，∴
，． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
，則的斜率
，
∴直線的方程為：
，又
，
∴
，即
． -----------------7分
∵點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑，即
，--------------8分
故圓的面積為
． --------------------9分
（Ⅲ）∵直線的方程是，，且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑，即， ………10分
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
，
時(shí)取等號(hào)．
故圓面積的最小值．
已知二次函數(shù)
的二次項(xiàng)系數(shù)為
，且不等式
的解集為
,
（1）若方程
有兩個(gè)相等的根，求的解析式；
（2）若
的最大值為正數(shù)，求的取值范圍．
【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后利用判別式得到a的值。
第二問中，
解：（1）∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
①
由方程
②
∵方程②有兩個(gè)相等的根，
∴
，
即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5
a=-1/5代入①得：
（2）由
由
解得：
故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是
已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)
，若對(duì)任意
，
，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用
的定義域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中，若對(duì)任意
不等式
恒成立，問題等價(jià)于
只需研究最值即可。
解： （I）的定義域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是 ．．．．．．．．4分
（II）若對(duì)任意不等式恒成立，
問題等價(jià)于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，
故也是最小值點(diǎn)，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
當(dāng)b<1時(shí)，
；
當(dāng)
時(shí)，
；
當(dāng)b>2時(shí)，
；
．．．．．．．．．．．．8分
問題等價(jià)于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是
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=2n2+2n，
．
}的前n項(xiàng)和=
=
=
．