題目列表(包括答案和解析)
設函數
，其中
為自然對數的底數.
（1）求函數
的單調區間；
（2）記曲線
在點
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值.
【解析】第一問利用由已知
，所以
，
由
，得
，
所以，在區間
上，
，函數
在區間上單調遞減；
在區間
上，
，函數在區間上單調遞增；
第二問中，因為
，所以曲線在點
處切線為：
.
切線與軸的交點為
，與軸的交點為
，
因為，所以
，
， 在區間
上，函數
單調遞增，在區間
上，函數單調遞減.所以，當
時，有最大值，此時
，
解：（Ⅰ）由已知，所以，
由，得， 所以，在區間上，，函數在區間上單調遞減；
在區間上，，函數在區間上單調遞增；
即函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.
切線與軸的交點為，與軸的交點為，
因為，所以
，
， 在區間上，函數單調遞增，在區間上，函數單調遞減.所以，當時，有最大值，此時，
所以，的最大值為
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
| 4 |
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| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
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| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
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| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 16 | 10 | 8.34 | 8.1 | 8.01 | 8 | 8.01 | 8.04 | 8.08 | 8.6 | 10 | 11.6 | 15.14 | … |
| 8 |
| x |
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