Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：
（1）若函數f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在區間（0，2）上遞減，則在

[2，+∞）

上遞增；
（2）當x=

2

時，f(x)=x+

4

x

，（x＞0）的最小值為

4

；
（3）試用定義證明f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在區間（0，2）上遞減；
（4）函數f(x)=x+

4

x

，（x＜0）有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？

Answer 1

分析：（1）觀察表格即可得到結論；
（2）觀察表格可得到x=2時滿足題意；
（3）可以利用單調性的定義進行證明：①設0＜x₁＜x₂＜2，②f（x₁）-f（x₂），③整理化簡，判斷符號即可；
（4）利用函數f(x)=x+

4

x

的奇偶性與單調性即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…
故函數f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在區間（2，+∞）（左端點可以閉）遞增；
 （2）由表格可知，x=2時，y_min=4 （4分）
（3）設0＜x₁＜x₂＜2，則
f（x₁）-f（x₂）=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)
=(x1-x2)+

4x2-4x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴

4

x1x2

＞1∴1-

4

x1x2

＜0
∴(x1-x2)(1-

4

x1x2

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區間（0，2）上遞減．
（4）∵f(x)=x+

4

x

為奇函數，∴當x=-2時有最大值-4．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，著重考查學生觀察、分析及用單調性的定義進行證明問題的能力，屬于中檔題．