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（本小題滿分15分）如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其右焦點為F．若點P(－1,1)為圓O上一點，連結PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．（1）求橢圓C的標準方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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第Ⅰ卷

一、填空題:

1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.; 4.;  5. 8;  6. (歷史) 5049; (物理) ; 7. 1; 8.

9.;10.; 11.; 12.;13.;14. 4.

二、解答題：

15. 解：（1）因為,所以…………（3分）

     得 （用輔助角得到同樣給分）              ………（5分）

     又,所以=           ……………………………………（7分）

（2）因為    ………………………（9分）

=                     …………………………………………（11分）

所以當=時, 的最大值為5＋4=9               …………………（13分）

故的最大值為3                     ………………………………………（14分）

16. (選歷史方向) 解: （1）表格為:

高  個

非高個

合  計

大  腳

5

2

7

非大腳

1

13

合  計

6

14

…… （3分）

（說明:黑框內的三個數據每個1分,黑框外合計數據有錯誤的暫不扣分）

（2）提出假設H₀: 人的腳的大小與身高之間沒有關系. …………………………… （4分）

根據上述列聯表可以求得.…………………… （7分）

當H₀成立時,的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,

所以我們有99.5%的把握認為: 人的腳的大小與身高之間有關系. ……………… （8分）

（3） ①抽到12號的概率為………………………………… （11分）

②抽到“無效序號（超過20號）”的概率為…………………… （14分）

(選物理方向) 解：（Ⅰ）在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，

拋物線的解析式為． …………………………… 2′

由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點A的縱坐標為．……………   4′

或        …………………………… 8′

∵拋物線對稱軸在y軸右側，∴,又∵拋物線開口向下，∴a＜0,

從而b＞0,故有       ……………………………9′           

∴拋物線的解析式為.   ……………………………10′

（Ⅱ）當運動員在空中距池邊的水平距離為米時，

即時，， ……………………………12′

∴此時運動員距水面的高為10－＝＜5，因此，此次跳水會失誤.………………14′

17. （1）證明：由直四棱柱,得,

所以是平行四邊形,所以         …………………（3分）

而,,所以面  ………（4分）

（2）證明：因為, 所以       ……（6分）

又因為,且，所以    ……… ……（8分）

而，所以               …………………………（9分）

（3）當點為棱的中點時,平面平面…………………（10分）

取DC的中點N,,連結交于,連結.

因為N是DC中點,BD=BC,所以；又因為DC是面ABCD與面的交線,而面ABCD⊥面,

所以……………（12分）

又可證得,是的中點,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以OM平面,

因為OM?面DMC₁,所以平面平面………………………（14分）

18. 解：（1）因為,所以c=1……………………（2分）

 則b=1,即橢圓的標準方程為…………………………（4分）

（2）因為（1,1）,所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x（6分）

又橢圓的左準線方程為x=－2,所以點Q（－2,4） …………………………（7分）

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切……………………………………………………（9分）

（3）當點在圓上運動時,直線與圓保持相切              ………（10分）

證明:設（）,則,所以,,

所以直線OQ的方程為                     ……………（12分）

所以點Q（－2,）                                    ……………… （13分）

所以,

又,所以,即,故直線始終與圓相切……（15分）

19.⑴解：函數的定義域為，（）…… （2分）

若，則，有單調遞增區間． ……………… （3分）

若，令，得，      

當時，，

當時，．  ……………… （5分）

有單調遞減區間，單調遞增區間．   ……………… （6分）

⑵解:(i)若，在上單調遞增，所以．     ……… （7分）

若，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以．     ……………… （9分）

若，在上單調遞減，所以．………… （10分）

綜上所述，    ……………… （12分）

（ii）令．若，無解．      ……………… （13分）

若，解得． ……………… （14分）

若，解得．       ……………… （15分）

故的取值范圍為．    ……………… （16分）

20. (1)數表中第行的數依次所組成數列的通項為，則由題意可得

… （2分）

 (其中為第行數所組成的數列的公差)         (4分)

(2)

第一行的數依次成等差數列，由(1)知，第2行的數也依次成等差數列，依次類推，可知數表中任一行的數(不少于3個)都依次成等差數列.     ……………… （5分）

設第行的數公差為,則，則…………… （6分）

所以

                                           (10 分)

(3)由，可得

所以=   ……………… （11分）

令,則,所以 ………… （13分）

要使得，即，只要=，

，，所以只要,

即只要,所以可以令

則當時，都有.

所以適合題設的一個函數為                   (16分)

第Ⅱ卷（附加題 共40分）

1. （1）設動點P的坐標為,M的坐標為,

則即為所求的軌跡方程.  …………（6分）

（2）由（1）知P的軌跡是以（）為圓心，半徑為的圓，易得RP的最小值為1

.……（10分）

2. ，|x－a|＜l，

，       …………………………………………………5分

= ………………………10分

3. 證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為

．

（1）解：因

所以，與所成的角余弦值為     …………………………………5分

（2）解：在上取一點，則存在使

要使

為

所求二面角的平面角．

…………………………………10分

另解：可以計算兩個平面的法向量分別為：平面ＡＭＣ的法向量，平面ＢＭＣ的法向量為，=，　所求二面角的余弦值為－．

4. （1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．

，

 ；………………8分

 故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

答：ξ的數學期望為                        ………………………………10分