Question

（本小題滿分15分）如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其右焦點為F．若點P(－1,1)為圓O上一點，連結(jié)PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點Q．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)網(wǎng)略

（1）由題意，得a =，e =，∴c =1，∴b²=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為…… 6分
（2）∵P(－1，1)，F(1，0)，∴，∴．所以直線OQ的方程為y =2x．10分
又橢圓的右準(zhǔn)線方程為x =2，所以Q(2，4)，所以．
又，所以，即OP⊥PQ．故直線PQ與圓O相切．… 15分