題目列表(包括答案和解析)
（本題16分，第（1）小題4分；第（2）小題6分；第（3）小題6分）
已知數列
滿足：
，
（
），數列
（
），
數列
（）.
（1）證明數列
是等比數列；
（2）求數列
的通項公式；
（3）是否存在數列的不同項
（
），使之成為等差數列？若存在請求出這樣的
不同項（）；若不存在，請說明理由．
（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題8分，第（3）小題4分）
已知橢圓
的左右焦點分別為
，短軸兩個端點為
，且四邊形
是邊長為2的正方形。
（1）求橢圓方程；
（2）若
分別是橢圓長軸的左右端點，動點
滿足
，連接
，交橢圓于
點
。證明：
為定值；
（3）在（2）的條件下，試問
軸上是否存在異于點
的定點
，使得以
為直徑的圓恒過直線
的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。
（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（2）小題6分）
在平行四邊形
中，已知過點
的直線與線段
分別相交于點
。若
。
（1）求證：
與
的關系為
；
（2）設
，定義在
上的偶函數
，當
時
，且函數圖象關于直線
對稱，求證：
，
并求
時的解析式；
（3）在（2）的條件下，不等式
在
上恒成立，求實數
的取值范圍。
（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為
的直角三角形．過Ｂ1作直線l交橢圓于P、Q兩點．
(1) 求該橢圓的標準方程；
(2) 若
，求直線l的方程；
(3) 設直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈
，求△B2PQ的面積
的取值范圍．
（本題滿分16分，第（1）小題4分，第（2）小題8分，第（3）小題4分）
已知橢圓
的左右焦點分別為
，短軸兩個端點為
，且四邊形
是邊長為2的正方形。
（1）求橢圓方程；
（2）若
分別是橢圓長軸的左右端點，動點
滿足
，連接
，交橢圓于點
。證明：
為定值；
（3）在（2）的條件下，試問
軸上是否存在異于點
的定點
，使得以
為直徑的圓恒過直線
的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。
一、填空題 (每題5分)
1)
2)
3)0 4) 
5)
6) 
7）②④ 8）
9）
10）
11）7
二、選擇題(每題5分)
12、A 13、B 14、D 15、D
三、解答題
16、16、
（1）因為
，所以∠BCA（或其補角）即為異面直線
與
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
， -------(2分)
即異面直線與所成角大小為
。
-------(1分)
（2）直三棱柱ABC-A1B
，所以
即為直線A
。 -------(2分)
中，AB=BC=1得到
，
中，得到
， -------(2分)
所以
-------(2分)
17、
-------(1分)
=
-------(1分)
=
-------(1分)
若
為其圖象對稱中心的橫坐標，即
=0， -------(1分)
， -------(1分)
解得：
-------(1分)
（2）
， -------(2分)
即
，而
，所以
。
-------(2分)
，
， -------(2分)
所以
------(2分)
18、
，顧客得到的優惠率是
。 -------(5分)
(2)、設商品的標價為x元，則500≤x≤800 ----- -(2分)
消費金額： 400≤0.8x≤640
由題意可得：
（1）
≥
無解
------(3分)
或（2）
≥ 得：625≤x≤750 ------(3分)
因此，當顧客購買標價在
元內的商品時，可得到不小于的優惠率。------(1分)
19、（1）y＝
?
＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
-----(1分)
與軸的交點
為
，所以
；
-----(1分)
所以
，即
，
-----(1分)
因為
在上，所以
，即
-----(1分)
（2）設
（
），
即
（） ----(1分)
（A）當
時，
----(1分)
=
=
，而
，所以
----(1分)
（B）當
時，
----(1分)
= 
=
，
----(1分)
而
，所以
----(1分)
因此
（）
----(1分)
（3）假設
，使得
，
（A）
為奇數
（一）
為奇數，則
為偶數。則
，
。則
，解得：
與矛盾。
----(1分)
（二）為偶數，則為奇數。則
，
。則
，解得：
（
是正偶數）。 ----(1分)
（B）為偶數
（一）為奇數，則為奇數。則，。則
，解得：
（
是正奇數）。
----(1分)
（二）為偶數，則為偶數。則，。則
，解得：
與矛盾。 ----(1分)
由此得：對于給定常數m(
)，這樣的總存在；當是奇數時，；當是偶數時，。
----(1分)
20、（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。 ----(1分)
由拋物線定義得：點
在以
為焦點直線＋2＝0為準線的拋物線上， ----(1分)
拋物線方程為
。 ----(2分)
解法（B）：設動點
，則
。當
時，
，化簡得：
，顯然
，而，此時曲線不存在。當時，
，化簡得：。
（2）
，
，
，
----(1分)
，
，即
，
，
----(2分)
直線為
，所以
----(1分)
----(1分)
由（a）（b）得：直線恒過定點
。
----(1分)
1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點。求證：OA⊥OB （評分：提出問題得1分，解答正確得1分）
（若，求證：
?
=0，得分相同）
2、（簡單推廣命題）如果直線L與拋物線
＝2px(p>0)相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點（2p，0）
或：它的逆命題（評分：提出問題得2分，解答正確得1分）
3、（類比）
3．1（1）如果直線L與橢圓
＋
＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)
3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)
3．1（3）或它的逆命題
3．2（1）如果直線L與雙曲線
－
＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)(a≠b)
3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命題
（評分：提出問題得3分，解答正確得3分）
4、（再推廣）
直角頂點在圓錐曲線上運動
如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(
,
)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(＋2p,－)
（評分：提出問題得4分，解答正確得3分）
5、（再推廣）
如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，PA與PB的斜率乘積是常數m。求證：直線L過定點(－
,－)
（評分：提出問題得5分，解答正確得4分）
或
?
為常數
頂點在圓錐曲線上運動并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數或?為常數
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