題目列表(包括答案和解析)
設點
是拋物線
的焦點，
是拋物線
上的
個不同的點（
）.
（1） 當
時，試寫出拋物線
上的三個定點
、
、
的坐標，從而使得
；
（2）當
時，若
，
求證：
；
（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：
“若，則.”
開展了研究并發現其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對任意給定的大于3的正整數，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為
，設
，
分別過
作拋物線的準線
的垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設
，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取
時，拋物線的焦點為，
設，
分別過
作拋物線的準線垂線，垂足分別為
.由拋物線定義得
，
則
，不妨取
；
；
；
解：（1）拋物線的焦點為，設，
分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
因為，所以
，
故可取
滿足條件.
（2）設
，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
；
所以
.
（3） ①取時，拋物線的焦點為，
設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
，
則，不妨取；；；，
則
，
.
故
，
，
，
是一個當
時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設，分別過作
拋物線的準線的垂線，垂足分別為，
由
及拋物線的定義得
，即.
因為上述表達式與點
的縱坐標無關，所以只要將這點都取在
軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則
，
而
，所以
.
（說明：本質上只需構造滿足條件且
的一組個不同的點，均為反例.）
③ 補充條件1：“點
的縱坐標
（
）滿足 
”，即：
“當時，若
，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設
，
分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由
，
及拋物線的定義得，即，則
，
又由，所以，故命題為真.
補充條件2：“點
與點
為偶數，
關于軸對稱”，即：
“當時，若，且點與點為偶數，關于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算，以及兩角和差的三角函數關系式的運用。
（1）問中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關系是
，結合
，解得。
（2）由，解得
，
，結合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數關系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
D
解析：由正弦定理得
.又由橢圓定義得AB+BC=2×5＝10.AC=8. 所以
D
解析：由正弦定理得
.又由橢圓定義得AB+BC=2×5＝10.AC=8. 所以
D
解析：由正弦定理得
.又由橢圓定義得AB+BC=2×5＝10.AC=8. 所以
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