Question

設函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R上的奇函數(shù)．
（1）求k的值，并證明當a＞1時，函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）已知f(1)=

3

2

，函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，試問是否存在正整數(shù)λ，使得f（2x）≥λ•f（x）對x∈[-

1

2

，

1

2

]恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，解得k值，然后進行檢驗，根據(jù)增函數(shù)的定義即可證明其單調(diào)性；
（2）由f（1）=

3

2

可求得a值，則g（x）=）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），由此g（x）可化為關于t的二次函數(shù)，求出t的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得g（x）的最小值、最大值，從而得其值域；
（3）按照x=0，0＜x≤

1

2

，-

1

2

≤x＜0三種情況，分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解出λ相應范圍，最后取其交集即可；

解答：解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定義域為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，得k=1．
此時，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函數(shù)．
設x₂＞x₁，則f（x₂）-f（x₁）=ax2-

1

ax2

-（ax1-

1

ax1

）=（ax2-ax1）（1+

1

ax2ax1

），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴ax2＞ax1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上為增函數(shù)，∴t∈[

3

2

，

15

4

]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
當t=

15

4

時，g（x）有最大值

17

16

，當t=2時，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，

17

16

]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假設存在滿足條件的正整數(shù)λ，則（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x），
①當x=0時，λ∈R；
②當x∈(0，

1

2

]時，4^x-4^-x＞0，則λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，則μ∈（1，2]，易證z=μ+

1

μ

在（1，2]上是增函數(shù)，
則λ≤z（1）=2；
③當x∈[-

1

2

，0)時，4^x-4^-x＜0，則λ≥4x+

1

4x

，
令μ=4^x，則μ∈[

1

2

，1)，易證z=μ+

1

μ

在[

1

2

，1）上是減函數(shù)，
所以λ≥z（

1

2

）=

5

2

，
綜上所述，知不存在正整數(shù)λ滿足題意．

點評：本題是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查的一般出題形式是解不等式的題，解題方法是先利用奇偶性進行轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解不等式．