“5•12”汶川大地震中，受災面積大，傷亡慘重，醫療隊到達后，都會選擇一個合理的位置，使傷員能在最短的時間內得到救治．設有三個鄉鎮，分別位于一個矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處，AB=10km，BC=5km，現要在該矩形的區域內（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個醫療站，記O點到三個鄉鎮的距離之和為y．
（1）設∠BAO=θ（rad），將y表示為θ的函數；
（2）試利用（1）的函數關系式確定醫療站的位置，使三個鄉鎮到醫療站的距離之和最短．

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“5•12”汶川大地震中，受災面積大，傷亡慘重，醫療隊到達后，都會選擇一個合理的位置，使傷員能在最短的時間內得到救治．設有三個鄉鎮，分別位于一個矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處，AB=10km，BC=5km，現要在該矩形的區域內（含邊界），且與A，B等距離的一點O處建造一個醫療站，記O點到三個鄉鎮的距離之和為y．
（1）設∠BAO=θ（rad），將y表示為θ的函數；
（2）試利用（1）的函數關系式確定醫療站的位置，使三個鄉鎮到醫療站的距離之和最短．

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一、選擇題      ACCBC  BBCCD

二、填空題：，，，，，，①②④

18（Ⅰ）由題意“且”表示“答完題，第一題答對，第二題答錯；或第一題答對，第二題也答對” 此時概率                 …6分

（Ⅱ）P()==,    P()==,………9分

-3

-1

1

3

P()== ,     P()==

∴的分布列為 

                                                   12分

∴  ……14分                                               

19解：(Ⅰ) 連接交于點，連接．

在中，分別為中點，．

平面，平面，平面．   …………(6分)

　 (Ⅱ)　法一：過作于，由三垂線定理得，

故∠為二面角的平面角．    ……………………………………(9分)

　令，則，又，

　　在△中，，

　  解得。

當時，二面角的正弦值為．     ………………(14分)

法二：設，取中點，連接，

以為坐標原點建立空間直角坐標系，如右圖所示：

則，

則．

設平面的法向量為，平面的法向量為，

則有，，即，，

設，則，

，解得．

即當時，二面角的正弦值為．  …………………(14分)

20．(1)   ;

(2)軌跡方程為（）

（1）當時，軌跡方程為（），表示拋物線弧段。

（2）當時，軌跡方程為，

    A）當表示橢圓弧段；      B）當時表示雙曲線弧段。

21.   Ⅰ)   …………(2分)

令，則

當時，；當時

故有極大值…………(4分)

Ⅱ）∵=a+，x∈(0，e)，∈［，+∞

   （1）若a≥－，則≥0，從而f(x)在(0，e)上增函數.

    ∴f(x)_max =f(e)=ae+1≥0.不合題意. …………………………………7分

   （2）若a<－， >0a+>0，即0<x<－

    由a+<0，即－<x≤e.

    ∴f(x)=f(－)=－1+ln(－).

    令－1+ln(－)=－3，則ln(－)=－2.∴－=e，

    即a=－e². ∵－e²<－，∴a=－e²為所求. ……………………………10分

   Ⅲ)由Ⅰ)結論，=f(1)=－1.∴f(x)=－x+lnx≤－1，從而lnx≤x－1.

    令g(x)=|f(x)|－－=x－lnx－－=x－(1+)lnx－……12分

   （1）當0<x<2時，有g(x)≥x－(1+)(x－1)－=－>0.

   （2）當x≥2時，g′(x)=1－［(－)lnx+(1+)?］=

                   =.

    ∴g(x)在[2，+∞上增函數，∴g(x)≥g(2)=

    綜合（1）、（2）知，當x>0時，g(x)>0，即|f(x)|>.

    故原方程沒有實解.                       ………………………………16分

22．證明：（I）

    ①當，                       …………2分

②假設，

則時不等式也成立，                                                               …………4分

   （II）由，

由

                                                                                              …………5分

又                …………7分

                            …………8分

   （III），

，                                             …………10分

的等比數列，…………12分

                                   …………14分