題目列表(包括答案和解析)
已知遞增等差數列
滿足：
，且
成等比數列．
（1）求數列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當
時，
；當
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當時，；當時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數學歸納法．
當時，
，成立．
假設當
時，不等式
成立，
當
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調性證明．
要證
只要證 
，
設數列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數列為單調遞減數列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
（08年朝陽區綜合練習一）（14分）
設數列
的前
項和為
，對一切
，點
都在函數
的圖象上．
（Ⅰ）求
的值，猜想
的表達式，并用數學歸納法證明；
（Ⅱ）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（
），（
，
），（
，
，
），（
，
，
，
）；（
），（
，
），(
，
，
），（
，
，
，
）；（
），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為
，求
的值；
（Ⅲ）設
為數列
的前項積，是否存在實數
，使得不等式
對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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