Question

（08年朝陽區綜合練習一）（14分）

設數列的前項和為，對一切，點都在函數 的圖象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表達式，并用數學歸納法證明；

（Ⅱ）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；

（Ⅲ）設為數列的前項積，是否存在實數，使得不等式對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）因為點在函數的圖象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．………………………………………………………………2分

用數學歸納法證明如下：

① 當時，有上面的求解知，猜想成立．

② 假設時猜想成立，即成立，

則當時，注意到，

故，．

兩式相減，得，所以．

由歸納假設得，，

故．

這說明時，猜想也成立．

由①②知，對一切，成立 ．……………………………………5分

（Ⅱ）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，  故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.………………8分

（Ⅲ）因為，故，

所以．

又，

故對一切都成立，就是

對一切都成立．

設，則只需即可．

由于，

所以，故是單調遞減，于是．

令，即 ，

解得，或．

綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數存在，的取值范圍是

．…………………………………………………………14分

注：（1）2個空的填空題，第一個空給3分，第二個空給2分. （2）如有不同解法，請閱卷老師酌情給分.