題目列表(包括答案和解析)
已知兩直線方程分別為
、
，若
，則直線
的一個方向向量為
.
、
，若
，則直線
的一個方向向量為
. | n |
| n |
= ．一、填空題：（
題號
1
2
3
4
5
6
答案
0
2
題號
7
8
9
10
11
答案
4
8.3
②、③
二、選擇題：（
題號
12
13
14
15
答案
A
C
B
B
三、解答題：（
16.（理）解：設
為橢圓上的動點，由于橢圓方程為
，故
．
因為
，所以
推出
．
依題意可知，當
時，取得最小值．而
，
故有
，解得
．
又點
在橢圓的長軸上，即
. 故實數
的取值范圍是
．
…2
…6
…8
…10
…12
16.（文）解：由條件，可得
，故左焦點
的坐標為
.
設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．
因為
，所以
,
由二次函數性質可知，當
時，
取得最小值4．
所以，
的模的最小值為2，此時點
坐標為
.
…2
…6
…8
…10
…12
17. 解：（1）當
時，
；
當
且
時，
；
當
時，
；（不單獨分析時的情況不扣分）
當
時，
.
（2） 由（1）知：當
時，集合
中的元素的個數無限；
當時，集合中的元素的個數有限，此時集合為有限集.
因為
，當且僅當
時取等號，
所以當時，集合的元素個數最少.
此時
，故集合
.
…2
…4
…6
…8
…12
…14
18.(理) （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
解：（1）如圖，建立空間直角坐標系.不妨設
.
依題意，可得點的坐標
，
，
.
于是，
，
.
由
，則異面直線
與
所成角的大小為
.
（2）解：連結
. 由
，
是
的中點，得
;
由
面
，
面，得
.
又
，因此
面
由直三棱柱
的體積為
.可得
.
所以，四棱錐
的體積為
.
…3
…7
…9
…11
…13
…15
18. （文）（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）
解：
（2）解：如圖所示. 由
，
，則
面
.所以，四棱錐
的體積為
.
…3
…6
…10
…15
19．解：（1）根據三條規律，可知該函數為周期函數，且周期為12.
由此可得，
；
由規律②可知，
，
；
又當
時，
，
所以，
，由條件
是正整數，故取
.
綜上可得，
符合條件.
（2） 解法一：由條件，
，可得
，
，
，.
因為
，
，所以當
時，
，
故
，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”.
解法二：列表，用計算器可算得
月份
…
6
7
8
9
10
11
…
人數
…
383
463
499
482
416
319
…
故一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”.
…3
…6
…9
…10
…12
…14
…16
…15
…16
20.解：（1）依條件得：
則無窮等比數列
各項的和為：
；
（2）解法一：設此子數列的首項為
，公比為
，由條件得：
，
則
，即 
而 
則 
.
所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項、公比均為
，
其通項公式為
，.
解法二：由條件，可設此子數列的首項為，公比為
.
由
………… ①
又若
，則對每一都有
………… ②
從①、②得
；
則
；
因而滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，此子數列是首項、公比均為無窮等比子數列，通項公式為，.
…4
…7
…9
…10
…7
…9
…10
（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
問題一：是否存在數列
的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.
解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和之積為1。設這兩個子數列的首項、公比分別為
和
，其中
且
或
，則
，
因為等式左邊或為偶數，或為一個分數，而等式右邊為兩個奇數的乘積，還是一個奇數。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數列不存在。
【以上解答屬于層級3，可得設計分4分，解答分6分】
問題二：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.
解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和相等。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中
且或，則
………… ①
若
且，則①
，矛盾；若且，則①
，矛盾；故必有且，不妨設
，則
①
………… ②
1
當
時，②
，等式左邊是偶數，右邊是奇數，矛盾；
2當
時，②
或
，
兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
綜合可得，不存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們的各項和相等。
【以上解答屬于層級4，可得設計分5分，解答分7分】
問題三：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的
倍？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由.
解：假設存在滿足條件的原數列的兩個不同的無窮等比子數列。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則
，
顯然當
時，上述等式成立。例如取
，
，
得：
第一個子數列：
，各項和
；第二個子數列：
，
各項和
，有
，因而存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍。
【以上解答屬層級3，可得設計分4分，解答分6分.若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】
問題四：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的
倍？并說明理由. 解（略）：存在。
問題五：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的
倍？并說明理由. 解（略）：不存在.
【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設計，可得設計分5分。解答分最高7分】
2008學年度第一學期上海市普陀區高三年級質量調研數學試卷（文科）2008.12
說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據。
一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.
1. 已知集合
，集合
,則
.
2. 拋物線
的焦點坐標為
.
3. 已知函數
，則
.
4. 設定義在
上的函數
滿足
，若
，則
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