題目列表(包括答案和解析)
如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側棱
⊥底面，
，
為
的中點.
（1）證明:
//平面
；
（2）在棱上是否存在點
，使三棱錐
的
體積為
？并說明理由.
如圖，四棱錐
的底面是正方形，
平面
，
是
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
．
如圖，四棱錐
的底面是正方形，
平面
．
，
，
是
上的點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
|
的底面
是正方形，側棱
⊥底面，
，
為
的中點. （1）證明:
//平面
；（2）在棱上是否存在點
，
使三棱錐
的體積為
？并說明理由.
|
的底面
是正方形，側棱
⊥底面，
，
為
的中點. （1）證明:
//平面
；上是否存在點
，使三棱錐
的
積為
？并說明理由.
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）D （6）D
（7）C （8）C （9）A （10）C （11）A （12）B
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
（13）
（14）2
（15）
（16）44
三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因為 
，
故 
，
又 
為三角形的內角，
所以 
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
將上式代入
整理得
．
故 ，
又 為三角形內角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因為
．
故 
，
由已知 
得
又因為 
.
得 
，
所以 
，
解得 
. ………………………………………………10分
（18）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系
．
設
，則
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
為
的中點，
，
∴
．
設
是平面
的一個法向量．
則由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一個法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小為
． ………………………………………12分
解法二：
設，則，
在中，.
設
，連接
，過
作
于
，
連結
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影為
，
∴
．
故
為二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小為． …………………………………12分
（19）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設取到的4個球全是白球的概率
，
則
．
…………………………………6分
（Ⅱ）設取到的4個球中紅球個數不少于白球個數的概率
，
則
． ………………12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（I）設等比數列
的首項為
，公比為
，
依題意，有
，
代入
， 得
．
∴
．
…………………………………2分
∴
解之得
或
…………………6分
∴
或
．
…………………………………8分
（II）又
單調遞減，∴． …………………………………9分
則
． …………………………………10分
∴
，即
，
，
．
故使
成立的正整數n的最小值為8．………………………12分
（21）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：設雙曲線方程為
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由雙曲線定義得 
．
則
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，雙曲線的兩漸近線方程為
．
由題意，設
的方程為
，與
軸的交點為
．
若與
交于點
，與
交于點，
由
得
；由
得
，
，
，
則
，
故雙曲線方程為
．
………………………………12分
（22）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因為函數
在
上為增函數，
在上恒成立，等價于
在上恒成立.
又
，
故當且僅當
時取等號，而
，
的最小值為
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函數
為奇函數，
， 
， ………………………………7分
.
切點為
，其中
，
則切線的方程為：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由題意知，
從而
.
，
，
.
………………………………………12分
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