如圖，過原點且傾斜角為α的直線交單位圓于點A（

3

5

，

4

5

），C是單位圓與x軸正半軸的交點，B是單位圓上第二象限的點，且△AOB為正三角形．
（I）求sin²

α

2

的值；
（II）求△BOC的面積．

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如圖，過原點且傾斜角為α的直線交單位圓于點A（），C是單位圓與x軸正半軸的交點，B是單位圓上第二象限的點，且△AOB為正三角形．
（I）求sin²的值；
（II）求△BOC的面積．

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（本小題滿分14分）
如圖，過原點且傾斜角為的直線交單位圓于點，C是單位圓與軸正半軸的交點，B是單位圓上第二象限的點，且為正三角形。
（Ｉ）求的值；
（II）求的面積。

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如圖：已知橢圓C的中心在原點，焦點在X軸上，經過右焦點F傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點，且|AF|∶|FB|＝3∶1，點在該橢圓上．

(Ⅰ)求橢圓C的離心率e的值，并求橢圓C的方程；

(Ⅱ)在橢圓C內部是否存在一點E(x₀，0)使得？若存在，求出E點的坐標；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

1．D     2．B    3．C     4．D     5．B     6．C

7．A     8．D    9．B     10．B    11．C    12．A

二、填空題：本大題共6小題，共74分

13．5          14．3         15．       16．32

三、解答題：本大題共6小題，共74分

17．解：（I）由三角函數的定義可知

    （II）又為正三角形，

18．解：（I）

第三批旅游人數為

現用分層抽樣的方法在所有游客中抽取50名游客，應在第三批參加旅游的游客中抽取的人數為（人）

（II）設“第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多”為事件A，第三批參加旅游的游客中到北京游的人數、到香港游的人數記為

由（I）知，且

則基本事件空間包含的基本事件有

（136，144）（137，143）（138，142）（139，141）（140，140）（141，139）（142，138）

（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133） 共12個。

事件A包含的基本事件有

（141，139）（142，138）（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133）共7個

答：第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多的概率為

19．解：（I）取的中點，連結

在中，為的中點

四邊形為平行四邊形

（II）

側面底面，平面,

又是正三角形，為的中點，

（III）取的中點，連結,是邊長為2的正三角形，

又側面底面

20．解（I）由已知得，

數列是首項，公差的等差數列

（II）由（I）知

21．解:(I)由題意知，

由橢圓定義知，動點滿足的曲線方程是:

（II）由方程組

的面積

不存在直線滿足題意

22．解法一：

（I）由已知

（II）

由此得時，單調遞減；時，單調遞增

當，即時，

當，即時，

（III）

在在是減函數，

在上恒成立

即在上恒成立

在上恒成立

又當且僅當時等號成立。

解法二；（I）,(II)同解法一

（III）

在是減函數，

在上恒成立

即在上恒成立

不妨設

由于無解。

綜上所述，得出，即的取值范圍是