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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為棱DD₁，AB上的點。
已知下列判斷：①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點E的位置有關，與點F的位置無關；
其中正確判斷的個數有

[     ]

A、1個
B、2個
C、3個
D、4個

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1．B    2．D   3．A   4．A   5．B   6．C   7．C   8．C   9．A   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．5   12．    13．    14．7       15．

三、解答題：本大題共6小題，共80分。

16．解：（I）由三角函數的定義可知

    又為正三角形，

   （Ⅱ）

      圓的面積為。

     該點落在內的概率

17．解：（I）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公差為的等差數列，設第

個月更新的車輛數為，則

    該市的出租車總數（輛）

   （Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公比為1.1的等比數列，則第

個月更新的車輛數，設至少需要個月才能更新完畢，

     個月更新的車輛總數，

     即，由參數數據可得

     故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車

18．解（I），為等腰直角三角形，

   （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則

    設平面的一個法向量為，

    則有  得

    平面的一個法向量

    而的一個法向量

    平面與平面所成的角的余弦值

   （Ⅲ），

    設平面的法向量為，則有

    平面的一個法向量為

     若要使得面，則要，即

     解得， 當時，  面

19．解法一：

   （I）設橢圓方程為，由題意知

    故橢圓方程為

   （Ⅱ）由（I）得，所以，設的方程為（）

    代入，得

    設則

    由，

    當時，有成立。

   （Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     依題意知，直線BC的方程為，

     令，則

     的方程為、在直線上，

     在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     解法二：（I）同解法一。

    （Ⅱ）由（I）得，所以。

     設的方程為

     代入，得

     設則

     當時，有成立。

    （Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     設存在使得、、三點共線，則，

     ，

     即

     ，。

     所以，存在，使得、、三點共線。

20．解：（I）

    當時，

    由或。

x

(0,1)

1

+

―

單調遞增

極大值

單調遞減

    時，，無極小值。

   （Ⅱ）存在單調遞減區間，

    在內有解，即在內有解。

    若，則，在單調遞增，不存在單調遞減區間；

    若，則函數的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點（0，1），要

使在內有解，則應有

或，由于，；

若，則函數的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點（0，1），

在內一定有解。

綜上，或。

   （Ⅲ）依題意：，假設結論不成立，

則有

①―②，得

  由③得，

即

設，則，

令

，在（0，1）上為增函數。