題目列表(包括答案和解析)
已知函數
．（
）
（1）若
在區間
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）若在區間
上，函數的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則
在區間上恒成立，然后分離參數法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于
在區間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區間上單調遞增，
則在區間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區間
上是增函數，并且在該區間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區間上恒有
，從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數的圖象恒在直線下方．
已知
（1）求函數
在
上的最小值
（2）對一切的
恒成立，求實數a的取值范圍
（3）證明對一切
，都有
成立
【解析】第一問中利用
當
時，
在
單調遞減，在
單調遞增
，當
，即
時，
，
第二問中，
，則
設
，
則
，
單調遞增，
，
，單調遞減，
，因為對一切，
恒成立，
第三問中問題等價于證明
，，
由（1）可知
，的最小值為
，當且僅當x=時取得
設
，，則
，易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有
成立
解：（1）當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，
…………4分
（2），則設，
則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立，
…………9分
（3）問題等價于證明，，
由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得
設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立
設函數f（x）=
在[1，+∞
上為增函數.
（1）求正實數a的取值范圍；
（2）比較
的大小，說明理由；
（3）求證：
（n∈N*, n≥2）
【解析】第一問中，利用
解:（1）由已知：
，依題意得：
≥0對x∈[1，+∞恒成立
∴ax－1≥0對x∈[1，+∞恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1
（2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=
在[1，+∞)上為增函數，
∴n≥2時：f（
）=
(3) ∵
∴
已知函數
在
取得極值
（1）求
的單調區間（用
表示）；
（2）設
，
，若存在
，使得
成立，求的取值范圍.
【解析】第一問利用
根據題意
在取得極值, 
對參數a分情況討論，可知
當
即
時遞增區間: 
遞減區間: 
,
當
即
時遞增區間: 
遞減區間: 
,
第二問中，
由(1)知: 在
，
，
在
從而求解。
解: 
…..3分
在取得極值, ……………………..4分
(1) 當即時 遞增區間: 遞減區間: ,
當即時遞增區間: 遞減區間: ,
………….6分
(2) 由(1)知: 在，
，
在
……………….10分
, 使成立
得: 
已知函數
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對任意的
有
≤
成立，求實數
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域為
由
，得
當x變化時，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當
時，取
，有
，故時不合題意.當
時，令
，即
令
，得
①當
時，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調遞減.從而對于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當
時，
，對于
，
，故在
上單調遞增.因此當取時，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當n=1時，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當
時，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
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