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（2013•虹口區(qū)二模）定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個(gè)數(shù)x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱(chēng)此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于區(qū)間

c，d

上的“凸函數(shù)”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①證明：當(dāng)n=2^k（k∈N^*）時(shí)，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②請(qǐng)?jiān)龠x一個(gè)與①不同的且大于1的整數(shù)n，
證明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

 如圖，給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為

2π

3

，點(diǎn)C是以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈

.

R-

）
（Ⅰ）設(shè)∠AOC=θ，寫(xiě)出x，y關(guān)于θ的函數(shù)解析式并求定義域；
（Ⅱ）求x+y的取值范圍．

（2007•普陀區(qū)一模）現(xiàn)有問(wèn)題：“對(duì)任意x＞0，不等式x-a+

1

x+a

＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．”有兩位同學(xué)用數(shù)形結(jié)合的方法分別提出了自己的解題思路和答案：
學(xué)生甲：在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)=

1

x+a

和g（x）=-x+a的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側(cè)的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范圍是[0，+∞]
學(xué)生乙：在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)f(x)=x+a+

1

x+a

的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側(cè)的部分恒在直線(xiàn)y=2a的上方．可解得a的取值范圍是[0，1]．
則以下對(duì)上述兩位同學(xué)的解題方法和結(jié)論的判斷都正確的是（　　）

已知函數(shù)f(x)=x³-2x²+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x
（1）求f(x) 的單調(diào)區(qū)間
（2）若f(x) 與g(x) 有交點(diǎn)，且在交點(diǎn)處的切線(xiàn)均為直線(xiàn)y=3x ，求a,b 的值并證明：在公共定義域內(nèi)恒有f(x) ≥g(x)
（3）設(shè)A(x₁,g(x₁)),B(x₂,g(x₂)) ，C （t,g(t)) 是y=g(x) 圖象上任意三點(diǎn)，且<x₁<t<x₂, 求證：割線(xiàn)AC 的斜率大于割線(xiàn)BC 的斜率；