題目列表(包括答案和解析)
已知數列
的前
項和為
，且滿足
(
)，
，設
，
．
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）若
≥
，，求實數
的最小值；
（3）當
時，給出一個新數列
，其中
，設這個新數列的前項和為
，若可以寫成
(
且
)的形式，則稱為“指數型和”．問
中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知數列
的前
項和為
，且滿足
(
)，
，設
，
．
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）若
≥
，，求實數
的最小值；
（3）當
時，給出一個新數列
，其中
，設這個新數列的前項和為
，若可以寫成
(
且
)的形式，則稱為“指數型和”．問
中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．
的前
項和為
，且滿足
(
)，
，設
，
．
是等比數列；
≥
，，求實數
的最小值；
時，給出一個新數列
，其中
，設這個新數列的前項和為
，若可以寫成
(
且
)的形式，則稱為“指數型和”．問
中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．已知數列
的前
項和為
，
，
，,則
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】因為
，所以由
得，
，整理得
，所以
，所以數列
是以
為首項，公比
的等比數列，所以
，選B.
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