題目列表(包括答案和解析)
已知一質點從原點出發，每秒運動一個單位，第1秒沿x軸正向運動，運動到P1點后再向上運動2秒到P3，再向左運動3秒到P6，再向下運動4秒到P10，再向右運動5秒到P15，再向上運動6秒到P21，…，依此進行下去．設第k秒末質點到達Pk．
(1)若Pk的坐標為(－20，20)，求正整數k的值；
(2)求點P2009的坐標．
已知一質點從原點出發，每秒運動一個單位，第1秒沿x軸正向運動，運動到P1點后再向上運動2秒到P3，再向左運動3秒到P6，再向下運動4秒到P10，再向右運動5秒到P15，再向上運動6秒到P21，…，依此進行下去．設第k秒末質點到達Pk．
(1)若Pk的坐標為(－20，20)，求正整數k的值；
(2)求點P2009的坐標．
1．C 2．A 3．A 4．D 5. D 6．B 7. B 8. A 9. B 10．D
11. 
12. 2 13. 
14. 
15. 
16．解：（1）∵
，∴
，
∵
，∴
, 
即
邊的長度為
。
（2）由
，得
…………①
，即
…………②
由①②得
，由正弦定理
，∴
，即證。
17． 解：（1）∵函數
的圖象的對稱軸為
要使在區間
上為增函數，當且僅當
且
。
依條件可知試驗的全部結果為
，即
共15個整點。
所求事件為
，即
共5個整點，∴所求事件
的概率為
。
（2）隨機變量
的取值有：2，3，4，5，6。的隨機分布列為：
2
3
4
5
6
隨機變量的期望
。
18．解法一：（1）易求
，從而
，由三垂線定理知：
。
（2）法一：易求
由勾股定理知
，設點
在面
內的射影為
，過作
于
，連結
，則
為二面角
的平面角。在
中由面積法易求
，由體積法求得點到面的距離是
，所以
，所以求二面角的大小為
。
法二：易求由勾股定理知，過作于，又過作
交
于
，連結
。則易證
為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而
于是
，所以
，在
中由余弦定理求得
。再在
中由余弦定理求得
。最后在
中由余弦定理求得
，所以求二面角的大小為
。
（3）設AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當P點在M或C時，三棱錐P―BFD的體積的最小。
。
解法二：空間向量解法，略。
19.解：（1）
當
時，
當
時，
此時函數
遞減；當
時，
此時函數遞增；
當時，取極小值，其極小值為0。
（2）由（1）可知函數
和
的圖像在處有公共點，因此若存在和的分界直線，則該直線過這個公共點。設分界直線的斜率為
則直線方程為
即
由
可得
當
時恒成立
由
得
。
下面證明
當
時恒成立。
令
則
當時，
。當時，
此時函數
遞增；當時，
此時函數遞減；當時，取極大值，其極大值為0。
從而
即
恒成立。
函數和存在唯一的分界直線
。
20．解：（1）設橢圓的標準方程為
，則：
，從而：
，故
,所以橢圓的標準方程為
。
（2）設
，則圓
方程為
,與圓
聯立消去
得
的方程為
，過定點
。
（3）將
與橢圓方程聯立成方程組消去
得：
,設
，則
。
，
所以
。
故存在定點
，使
恒為定值
。
21．解：（1）法一：數學歸納法；
法二：
所以
為首項為
公比為2的等比數列，
，即證。
法三：，兩邊同除以
，轉化為疊加法求數列通項類型。
（2）法一：容易證明
單調遞增，
。由函數
割線斜率與中點切線斜率的關系想到先證
，即證
，即證
。令
下證
。事實上，構造函數
，則
，
，所以
在
上單調遞增，故
，則
，即證
。
于是由有
，
（因為
）。
法二：要證
，即證
，聯想到熟悉的不等式（證明如法一）。令
，則
，即證
，下同方法一。
法三：聯想到熟悉的不等式
（證略）。令，則
，即證
而
，但驗算當
時
不成立。故單獨驗證
時原不等式成立，經驗證成立。下用數學歸納法證
成立。
由，則
，作差有
。
①當
時，
成立。
②假設
時，
，則
當
時，
，
下證
，顯然。所以，命題對時成立。綜上①②即證。
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