如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2

2

．
（1）若點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)O，試指出點(diǎn)O的位置，并說明理由；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

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如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（1）若點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)O，試指出點(diǎn)O的位置，并說明理由；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

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如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（1）若點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)O，試指出點(diǎn)O的位置，并說明理由；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

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16、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若CD∥平面PBO，試指出點(diǎn)O的位置；
（Ⅱ）求證：平面AB⊥平面PCD．

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.

1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

9.     10. 若點(diǎn)P在兩漸近線上的射影分別為、，則必為定值

11.②③          12.         13.1        14.

二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.

15. 解: (Ⅰ)因?yàn)?sub>,∴,則…………………………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

   則 …………………………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面積為………………………(14分)

16. (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>,,且,

所以……………………………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

   而,故點(diǎn)的位置滿足………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因?yàn)閭?cè)面底面,,且,

所以,則…………………………………………………………………(10分)

   又,且,所以 …………(13分)

   而,所以…………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>,所以的面積為()………………………(2分)

   設(shè)正方形的邊長為,則由,得,

解得,則…………………………………………………………………(6分)

   所以,則 ………………(9分)

   (Ⅱ)因?yàn)?sub>,所以……………(13分)

   當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,此時(shí).所以當(dāng)長為時(shí),有最小值1…………………(15分)

18. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…………………………………(3分)

則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為………(5分)

(Ⅱ)設(shè),則,且…………………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)…(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,得 ………(11分)

  因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得………………………………(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>…………………………………(2分)

由；由,所以在上遞增,

在上遞減 …………………………………………………………………………………………(4分)

欲在上為單調(diào)函數(shù),則………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)證:因?yàn)?sub>在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 …………………………………(9分)

 從而當(dāng)時(shí),,即…………………………………………………………(10分)

(Ⅲ)證:因?yàn)?sub>,所以即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)……………………………………………………………………(12分)

   因?yàn)?sub>,,所以

   ①當(dāng)時(shí),,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解 …………………………………………………………(14分)

③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意…………(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù))

20.（Ⅰ）解：由題意得,,所以=……………………(4分)

（Ⅱ）證:令,,則=1………………………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）……………………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得 …………(9分)

在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 …………………………………………(10分)

（Ⅲ）記,公差為,則=…………………(12分)

則,

…………………………………………(14分)

則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立……………(16分)

數(shù)學(xué)附加題部分

21.A．（幾何證明選講選做題）

解：因?yàn)镻B=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結(jié)AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩陣與變換選做題）

解: (Ⅰ)設(shè),則有=,=,

所以,解得 …………………………………………………………(4分)

所以M=,從而= ………………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因?yàn)?sub>且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ………………………………………(10分)

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）

解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程：……………………………………………(2分)

   可化為…………………………………………………………(5分)

在上任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線的距離為

,它的最大值為4 ……………………………(10分)

D．（不等式選講選做題）

證:左=…(5分)

  ……………………(10分)

22．解:以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，…(2分)

（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為