如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點C，AB是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，A、B為切點，且∠ACB=90°．以AB所在直線為軸，過點C且垂直于AB的直線為軸建立直角坐標系，已知AO=4，OB=1．
（1）分別求出A、B、C各點的坐標；
（2）求經過A、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）如果⊙O₁的半徑是5，問這條拋物線的頂點是否落在兩圓連心線O₁ O₂上？如果在，請證明；如果不在，請說明理由．

如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，B、C為切點．AT為內公切線，AT與BC相交于點T．延長BA、CA，分別與兩圓交于點E、F．

(1)求證：AB·AC＝AE·AF；

(2)若AT＝2，⊙O₁與⊙O₂的半徑之比為1∶3，求AE的長．