Question

（2009•畢節地區）如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點C，AB是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，A、B為切點，且∠ACB=90°．以AB所在直線為軸，過點C且垂直于AB的直線為軸建立直角坐標系，已知AO=4，OB=1．
（1）分別求出A、B、C各點的坐標；
（2）求經過A、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）如果⊙O₁的半徑是5，問這條拋物線的頂點是否落在兩圓連心線O₁ O₂上？如果在，請證明；如果不在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理求出C點坐標，利用AO=4，OB=1，即可得出A、B兩點的坐標；
（2）用待定系數法即可求出經過A、B、C三點的拋物線的函數解析式；
（3）過C作兩圓的公切線，交AB于點D，由切線長定理可求出D點坐標，根據C，D兩點的坐標可求出過C，D兩點直線的解析式，根據過一點且互相垂直的兩條直線解析式的關系可求出過兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點坐標代入直線的解析式看是否適合即可．

解答：解：（1）∵AO=4，OB=1，
∴A、B兩點的坐標分別為：（-4，0），（1，0），
∵∠ACB=90°，
設C點坐標為（0，y），則AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C點坐標為（0，-2），

（2）設經過A、B、C三點的拋物線的函數解析式為y=ax²+bx+c，
則

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函數的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（3）過C作兩圓的公切線CD交AB于D，則AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-

3

2

，0），
設過CD兩點的直線為y=kx+b，則

- 3 2 k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=-2

，
故此一次函數的解析式為y=-

4

3

x-2，
∵過O₁，O₂的直線必過C點且與直線y=-

4

3

x-2垂直，
故過O₁，O₂的直線的解析式為y=

3

4

x-2．
由（2）中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為（-

3

2

，-

25

8

），
代入直線解析式得

3

4

×（-

3

2

）-2=-

25

8

，故這條拋物線的頂點落在兩圓的連心O₁O₂上．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，根據兩圓外切的條件作出輔助線，結合拋物線和直線的性質解答是解題關鍵．