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從某校參加2009年全國高中數學聯賽預賽的450名同學中，隨機抽取若干名同學，將他們的成績制成頻率分布表，下面給出了此表中部分數據．
（1）根據表中已知數據，你認為在①、②、③處的數值分別為

 

，

 

，

 

．
（2）補全在區間[70，140]上的頻率分布直方圖；
（3）若成績不低于110分的同學能參加決賽，那么可以估計該校大約有多少學生能參加決賽？

分組	頻數	頻率
[70，80）		0.08
[80，90）		③
[90，100）		0.36
[100，110）	16	0.32
[110，120）		0.08
[120，130）	2	②
[130，140]		0.02
合計	①

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個答案中，只有一個項是符合題目要求的，把正確的代號填在答題卡指定的位置上。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

C

A

A

A

D

B

D

C

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置。

11.-1或             12.               13.0.32    

14.                  15.100100   

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答。

16. (本小題滿分13分）

解:

兩邊平方并整理得

根據余弦定理得

17. (本小題滿分13分）

解法一：

（Ⅰ）由俯視圖可得：

           有俯視圖知

故是以B為直角頂點的直角三角形。

（Ⅱ）三角形PAC的面積為

俯視圖是底邊長為，斜邊上的高為的等腰直角三角形

三角形PAB的面積為，且PB=

由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，故其面積為

故三棱錐P-ABC的全面積為

（Ⅲ）在面ABC內過A做AC的垂線AQ,

以A為原點，AC、AQ、AP所在直線分別為x軸、y軸 、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則

設為面PAB的一個法向量

則

取設

故當E為PC的中點時，AE與面PAB所成的為60⁰

解法二：

（Ⅰ）由正視圖和俯視圖可判斷

在面ABC內過A做AC的垂線AQ

以A為原點，AC、AQ、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則

故是以B為直角頂點的直角三角形。

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）設為面PAB的一個法向量

則取

故當E為PC的中點時，AE與面PAB所成的為60⁰

18. (本小題滿分13分）

解：

（Ⅰ）設抽到相鄰兩個月的數據為事件A

因為從6組數據中選取2組數據共有中情況，每種情況都是等可能出現的其中，抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種

所以

（Ⅱ）由數據求得

由公式求得

再由

所以y關于x的線性回歸方程為

（Ⅲ）當時，

同樣，當時，

所以，該小組所得線性回歸方程是理想的。

19. (本小題滿分13分）‘

   解：（Ⅰ）設橢圓方程為

    ①

點A(1,1)在橢圓上，    ②

又    ③

故所求橢圓方程為

（Ⅱ）由A(1,1)得C(-1,1)

則

易知AP的斜率k必存在，設AP；則

由

由A(1,1)得的一個根

由韋達定理得：

以-k代k得

故

即存在實數

20. (本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）

當時，

當時，

故連續，故

（Ⅱ）即不等式在區間有解

可化為

在區間有解

令

故在區間遞減，在區間遞增

又

所以，實數a的取值范圍為

（Ⅲ）設存在公差為d首項等于的等差數列

和公比q大于0的等比數列，使得數列的前n項和等于

故

即   ①

  ②

②-①×2得

（舍去）

       故，

此時，數列的的前n項和等于

故存在滿足題意的等差數列金額等比數列，使得數列的前n項和等于

21. 本題有（1）、（2）、（3）三個小題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分

（1）(本小題滿分7分）選修4――2：矩陣與變換

解一：

設

解二：

設  則

故

（2）(本小題滿分7分）選修4――4：坐標系與凡屬方程

解：曲線C₁可化為：

曲線C₂可化為

聯立  解得交點為

（3）(本小題滿分7分）選修4――5：不等式選講

解：

當且僅當

取最小值，最小值為