題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是
，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1－BD－A的大小；
（Ⅲ）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．
如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．
如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．
一． ADBCA CABBA BC
二．
13.3； 14.（-∞，4]； 15. 
； 16. 
.
三．
１７. 解：解：由
，得
…3分
………………6分
又
= 
。………10分
１８. 解:(I)分別記“客人游覽甲景點”,“客人游覽乙景點”,“客人游覽丙景點”為事件A1,A2,A3.由已知A1,A2,A3相互獨立,P(A1)＝ 0.4,P(A2)＝ 0.5,P(A3)＝ 0.6.
P(ξ＝ 3)＝ P(A1?A2?A3)+P(A1?A2?A3)
＝ P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3))
＝ 2×0.4×0.5×0.6＝
(Ⅱ)客人游覽的景點數的可能取值為0,1,2,3.相應地,客人沒有游覽的景點數的可能取值為3,2,1,0,所以ξ的可能取值為1,3.∴P(ξ＝ 1)＝ 1－0.24＝ 0.76. ………12分
19、解：解法一：（Ⅰ）取
中點
，連結
．
為正三角形，
．
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面．
連結
，在正方形
中，
分別為
的中點，
，
．………………………………….3分
在正方形
中，
，
平面
．………………………………….5分
（Ⅱ）設
與
交于點
，在平面中，作
于
，連結
，由（Ⅰ）得
平面．
，
為二面角
的平面角．………………………………….9分
在
中，由等面積法可求得
，
又
，
．
所以二面角的正弦值
．………………………………….12分
解法二：（Ⅰ）取中點，連結．
為正三角形，．＄
平面．
取
中點
，以為原點，
，
，
的方向為
軸的正方向建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
…….3分
，
，
．
，
，
，
．
平面．………………………………….6分
（Ⅱ）設平面
的法向量為
．
，
．
，
，
令
得
為平面的一個法向量．…………………………9分
由（Ⅰ）知平面，
為平面的法向量．
，
．
二面角的正弦值…………………………12
２０.
解：（1）由已知得
解得
．
設數列
的公比為
，由，可得
．
又
，可知
，
即
，
解得
．
由題意得
．
．
故數列的通項為
．…………6
（2）由于
由（1）得
又
是等差數列．
=
=
故
．…………………………12
21.解：解:(Ⅰ)由題意知f′(x)＝ ax2+bx－a2,且f′(x)＝ 0的兩根為x1、x2.
∴x1+x2＝ － x1x2＝ －a.
∴(x2－x1)2＝ (x2+x1)2－4x1x2＝ 4.
∴()2+
∴b2＝ (4－
(Ⅱ)由(1)知b2＝ (4－
令函數g(a)＝ (4－
g′(a)＝
－
令g'(a)＝ 0 ∴a1＝ 0,a2＝ .
函數g(a)在(0,)上為增函數,(,1)上為減函數.
∴g(a)max＝ g()＝ .
∴b2≤.
∴|b|≤.…………………………12分
22.解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線
是以
為焦點的雙曲線的左支，且
，易知
故曲線的方程為
…………………………3
設
，由題意建立方程組
消去
，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點
，有
解得
………………5
∵ 
依題意得 
整理后得
∴
或
但 ∴
故直線
的方程為
…………………………8
設
，由已知
，得
∴
，
又
，
∴點
將點
的坐標代入曲線的方程，得
得
，
但當
時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴
.…………………………10
點的坐標為
到的距離為
∴
的面積
…………………………12
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