Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO，取B₁C₁中點O₁，以0為原點，OB，OO₁ ，OA 的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，，，驗證=0，，即可證明AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求出平面A₁BD的法向量為，平面A₁AD的法向量為，再利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-A₁D-B的正弦值．
解答：解：取BC中點O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中點O₁，以0為原點，OB，OO₁ ，OA 的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系
則B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，3 ），A（0，0，3 ），B1（1，2，0），
（Ⅰ），，
=-1+4-3=0，
∴AB₁⊥BD，AB₁ ⊥BA₁ ，
∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）平面A₁BD的法向量為
設平面A₁AD的法向量為=（x，y，z），∴，∴
令z=1、y=0、x=-，則
∴cos
設二面角A-A₁D-B的平面角為θ，即
∴
即二面角A-A₁D-B的正弦值為．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．