題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一、選擇題（每題5分共50分）
1．D 2．A 3．Ｂ 4．C 5．C
6．Ｃ 7．Ｂ 8．Ｃ 9．C 10．D
二、填空題（每題5分共20分）
11．
12．
13．
14．（0，2），
15．3
三、解答題（共80分）
16．解：（Ⅰ）由已知得：
，
又
是△ABC的內角，所以
．
（2）由正弦定理：
，
又因為
，
，又
是△ABC的內角，所以
．
17．證明：連結AB，A1D，在正方形中，A1B=A1D，O是BD中點，
∴A1O⊥BD；
連結OM，A
a=MC1
OA=OC=
a，AC=
a，
∴A1O2=Aa2=
a2，OM2=OC2+MC2=
a2，A
a2=
a2,∴A
∴A1O⊥OM，
∴AO1⊥平面MBD
18解：（Ⅰ）
，
因為函數
在
及
取得極值，則有
，
．
即
解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
當
時，
；
當
時，
；
當
時，．
所以，當時，取得極大值
，又
，
．
則當
時，的最大值為．
因為對于任意的，有
恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范圍為
．
19．解（Ⅰ）由題意知
，
當n≥2時，
，
，
兩式相減得 
整理得：
∴數列{
}是以2為首項，2為公比的等比數列。
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴bn=n
， …………①
， …………②
①－②得
，
∴
，
∴
，
20．解：設這臺機器最佳使用年限是n年,則n年的保養、維修、更換易損零件的總費用為：
，
等號當且僅當
答：這臺機器最佳使用年限是12年，年平均費用的最小值為1.55萬元．
21．⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為
⑵ 得 (1?3k2)x2?6kx?9=0
x1＋x2= , x1x2=
由△>0 得 k2<1
由= x1x2＋y1y2=(1＋k2) x1x2＋k(x1＋x2)＋2>2得 <k2<3
所以，<k2<1
即k∈(?1, )∪( , 1 )
附加題
(1)證明：先將變形：
,
當
，即
時，∴
恒成立，
故的定義域為
。
反之，若對所有實數
都有意義，則只須
。
令
，即
，解得，故。
(2)解析：設
，
∵
是增函數，
∴當
最小時，最小。
而
，
顯然，當
時，取最小值為
，
此時
為最小值。
(3)證明：當時，
，
當且僅當m=2時等號成立。
∴
。
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