Question

（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解析：（1），   ……1分

∴當時，，此時單調遞減w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

當時，，此時單調遞增   …………3分 

∴的極小值為 ……4分

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，……5分

令，，  …………6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

當時，，在上單調遞增  ………7分

∴ 

∴在（1）的條件下，……………………………9分

（3）假設存在實數，使（）有最小值3， 

① 當時，，所以 ，

所以在上單調遞減，

，（舍去），

所以，此時無最小值.  ……10分 

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件.  ……11分

③ 當時，，所以，

所以在上單調遞減，，（舍去），

所以，此時無最小值.

綜上，存在實數，使得當時有最小值3.……14分w.w.w.k.s.5.u