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若橢圓E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和橢圓E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1滿足

a2

a1

=

b2

b1

=m

(m＞0)

，則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經過點(2，

6

)，且與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓方程；
（2）設過原點的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），
求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；
（3）對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C₁：

x2

22

+

y2

( 2 )2

=1和C₂：

x2

42

+

y2

(2 2 )2

=1交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為

x2

32

+

y2

( 3 2 2 )2

=1”．請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明．

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若橢圓E₁：和橢圓E₂：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經過點，且與橢圓相似的橢圓方程；
（2）設過原點的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C₁：和C₂：交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為”．請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明．

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若橢圓E₁：和橢圓E₂：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經過點，且與橢圓相似的橢圓方程；
（2）設過原點的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C₁：和C₂：交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為”．請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明．

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一、選擇題（每題5分共50分）

1．D            2．A            3．Ｂ           4．C            5．C           

6．Ｃ       7．Ｂ        8．Ｃ    9．C    10．D

二、填空題（每題5分共20分）

       11．          12．                 13．                  

14．（0，2），               15．3

三、解答題（共80分）

16．解：（Ⅰ）由已知得：，  

又是△ABC的內角，所以．    

（2）由正弦定理：，

又因為，，又是△ABC的內角，所以．

17．證明：連結AB，A₁D，在正方形中，A₁B=A₁D，O是BD中點，

∴A₁O⊥BD；                 

連結OM，A₁M，A₁C₁，設AB=a，則AA₁=a，MC=a=MC₁

OA=OC=a，AC=a，

∴A₁O²=A₁A²+AO²=a²+a²=a²，OM²=OC²+MC²=a²，A₁M²=A₁C₁²+MC₁²=2a²+a²=a²,∴A₁M²=A₁O²+OM²，

∴A₁O⊥OM，  

∴AO₁⊥平面MBD

18解：（Ⅰ），

因為函數在及取得極值，則有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

當時，；

當時，；

當時，．

所以，當時，取得極大值，又，．

則當時，的最大值為．

因為對于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．

19．解（Ⅰ）由題意知，　　　  

當n≥2時，，，

兩式相減得

整理得：   　

∴數列{}是以2為首項，2為公比的等比數列。

∴　　　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b_n=n　　

， …………①

， …………②

①－②得

， 　　

∴， 　　　

∴， 　　

20．解：設這臺機器最佳使用年限是n年,則n年的保養、維修、更換易損零件的總費用為：

，

等號當且僅當

答：這臺機器最佳使用年限是12年，年平均費用的最小值為1.55萬元．

21．⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為

⑵ 得 (1?3k²)x²?6kx?9=0

  x₁＋x₂= , x₁x₂=

由△>0 得 k²<1

  由= x₁x₂＋y₁y₂=(1＋k²) x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋2>2得 <k²<3

  所以，<k²<1

即k∈(?1, )∪( , 1 )

附加題

(1)證明：先將變形：,

當，即時，∴恒成立，

故的定義域為。                                     

反之，若對所有實數都有意義，則只須。

令，即，解得，故。  

(2)解析：設，

∵是增函數，

∴當最小時，最小。

而，                               

 顯然，當時，取最小值為，

此時為最小值。                      

(3)證明：當時，，

當且僅當m=2時等號成立。                                  

∴。