題目列表(包括答案和解析)
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| α1 |
| α2 |
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| a1 |
| a2 |
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，求A的特征值λ1、λ2及對應的特征向量α1、α2．1．
2．
3．a＝－2． 4. 
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．0 13．
14．18
15．解：（Ⅰ）由
得
，
，
3分
，
5分
又
，∴ 
。
7分
（Ⅱ）由
可得，
，
9分
由
得，
,
12分
所以，△ABC面積是
14分
17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
則V＝
． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，
∴EF∥CD．則EF⊥PC． ……… 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
（Ⅲ）證法一：
取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM 
平面PAB，PA
平面PAB，
∴EM∥平面PAB． ……… 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． ……… 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
證法二：
延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C為ND的中點． ……12分
∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
17．解：（Ⅰ）n≥2時，
． ………………… 4分
n＝1時，
，適合上式，
∴
．
………………… 5分
（Ⅱ）
，
．
………………… 8分
即
．
∴數列
是首項為4、公比為2的等比數列． ………………… 10分
，∴
．……………… 12分
Tn＝
＝
．
………………… 14分
18．解：（Ⅰ）
…… 4分
＝
…………………… 8分
（Ⅱ）當0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，
在t＝5時，y取得最大值為1225； …………………… 11分
當10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，
在t＝20時，y取得最小值為600． …………………… 14分
（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；
第20天，日銷售額y取得最小為600元． …………………… 15分
19. 解:(Ⅰ)設圓心
,則
,解得
…………………(3分)
則圓的方程為
,將點
的坐標代入得
,故圓的方程為
…………(5分)
(Ⅱ)設
,則,且
…………………(7分)
=
=
,所以
的最小值為
(可由線性規劃或三角代換求得)
…………(10分)
(Ⅲ)由題意知, 直線
和直線
的斜率存在,且互為相反數,故可設
,
,由
,得
……………………(11分)
因為點的橫坐標
一定是該方程的解,故可得
………………………
(13分)
同理,
,所以
=
所以,直線
和
一定平行…………………………………………………………………(15分)
20．解：（Ⅰ）
，
，
．
∴
，且
． …………………… 2分
解得a＝2，b＝1． …………………… 4分
（Ⅱ）
，令
，
則
，令
，得x＝1（x＝－1舍去）．
在
內，當x∈
時，
，∴h(x)是增函數；
當x∈
時，
，∴h(x)是減函數． …………………… 7分
則方程
在內有兩個不等實根的充要條件是
……10分
即
． …………………… 12分
（Ⅲ）
，
．
假設結論成立，則有
①－②，得
．
∴
．
由④得
，
∴
．即
．
即
．⑤
…………………… 14分
令
，
（0＜t＜1)，
則
＞0．∴
在0＜t＜1上增函數．
，∴⑤式不成立，與假設矛盾．
∴
．
……………………………16
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