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設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“① 方程f(x)-x=0有實數根；② 函數f(x)的導數(x)滿足0＜(x)＜1”.

(Ⅰ)判斷函數f(x)=是否是集合M中的元素，并說明理由；

(Ⅱ )集合M中的元素f(x)具有下面的性質：“若f(x)的定義域為D，則對于任意[m，n]D，都存在x₀∈ [m，n]，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)(x₀)成立”，試用這一性質證明：方程f(x)-x=0只有一個實數根；

(Ⅲ)設x₁是方程f(x)-x=0的實數根，求證：對于f(x)定義域中任意的x₂，x₃,當，且時，.

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1．B    2 D．  3．B    4．C      5．C     6．C    7．B    8．C    9．D   10．B

11．D   12．B

13．240   14．1     15．  16. ①②③

17．（本題滿分10分）

解：(Ⅰ)由

    又   

(Ⅱ)

同理：

故，，.

18．（本題滿分12分）

解：(Ⅰ)記“這批太空種子中的某一粒種子既發芽又發生基因突變”為事件，則.    

(Ⅱ)

19．（本題滿分12分）

解  (Ⅰ)∵，∴{}是公差為4的等差數列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n= 

(Ⅱ)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立

20．（本題滿分12分）

解法一：

（I）設是的中點，連結，則四邊形為正方形，

．故，，，，即．

又，

平面，                                   

（II）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點, 連結，又，則．

取的中點，連結，則,.

為二面角的平面角．

連結，在中，，，

取的中點，連結，，

在中，，，．

．

二面角的余弦值為．

解法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，,.

，,

又因為 所以，平面.

（II）設為平面的一個法向量．

由，，

得    取，則．

又，，設為平面的一個法向量，

由，，得取，則，

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

,

21．（本題滿分12分）    

解：(Ⅰ) ,_{在上是增函數，在上是減函數,}

_{∴當時, 取得極大值.}

_∴即.

_由,得,

_{則有 ,}

_遞增

_極大值4

_遞減

_極小值0

_遞增

_所以, 當時,函數的極大值為4;極小值為_0; 單調遞增區間為_和.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, _,的兩個根分別為. ∵_{在上是減函數,∴},即,

_.

22．（本題滿分12分）

解:（I）依題意，可知，

∴  ，解得

∴橢圓的方程為

（II）直線：與⊙相切，則，即，

由，得，

∵直線與橢圓交于不同的兩點設

∴，

，

∴

∴       ∴，

∴

設，則，

∵在上單調遞增          ∴.