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選修4－2：矩陣與變換

已知, 求矩陣B.

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必做題部分

【填空題答案】

1．{2，4};       2．1－2i ;           3．；         4．；       5．7；

6．；        7．；            8．；        9．17；           10． ；

11．6；        12．；         13．3；         14．18．

二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15. （本題滿分14分）

某高級中學共有學生3000名，各年級男、女生人數如下表：

高一年級

高二年級

高三年級

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.17.

（1）問高二年級有多少名女生？

（2）現對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，問應在高三年級抽取多少

名學生？

【解】（1）由題設可知，    所以x=510.       ………………………6分

    （2）高三年級人數為y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分

     現用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，應在高三年級抽取的人數為：

 名.                                  ………………………12分

     答：（1）高二年級有510名女生；（2）在高三年級抽取99名學生．……………14分

16. （本題滿分14分）

_{如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，}

_{AB=4a，BC= CF=2a， P為AB的中點.}

_{（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；}

_{（2）求四面體PCEF的體積.}

_{【證明】（1）因為ABCD為矩形，AB=2BC, P為AB的中點，}

_{所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分}

_{同理可證∠APD=45°.}

_{所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分}

_{又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內，所以PC⊥DE. ………………………4分}

_{因為DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分}

_{又因為PC在平面PCF內，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分}

【解】（2）因為CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以              ……………………… 10分

在平面ABCD內，過P作PQ⊥CD于Q，則

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因為BC⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距離為PQ=2a.                  ………………………12分

           ………………………14分

（注：本題亦可利用求得）

17 . （本題滿分15分）

△ABC中，角A的對邊長等于2，向量m=，向量n=.

（1）求m?n取得最大值時的角A的大小；

（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值.

【解】（1）m?n＝2－. …………………3分

因為 A＋B＋C，所以B＋C－A，

于是m?n＝＋cosA＝－2＝－2.……………5分

因為，所以當且僅當＝，即A＝時，m?n取得最大值.

故m?n取得最大值時的角A＝.                       …………………………7分

（2）設角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，

由余弦定理，得 b²＋c²－a²＝2bccosA，                 …………………………9分

即bc＋4＝b²＋c²≥2bc，                              ……………………… 11分

所以bc≤4，當且僅當b＝c＝2時取等號.                ……………………… 12分

又S_△ABC＝bcsinA＝bc≤.

當且僅當a＝b＝c＝2時，△ABC的面積最大為.        ………………………15分

18. （本題滿分15分）

在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以OD、OC為長、短半軸的

橢圓在矩形及其內部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于

點E.

（1）求證：；

（2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，

求直線l的方程；

（3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內部，

且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M

的方程．

【解】題設橢圓的方程為.                    …………………………1分

由消去y得.   …………………………2分

由于直線l與橢圓相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化簡得.          ①                        …………………………4分

（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中點為.                           …………………………5分

因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直線l的方程為    …………………………8分

（3）由（2）知.

因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為.………9分

因為圓M在矩形及其內部，所以      ④     ……………………… 10分

圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圓M面積最大時，，這時，.

故圓M面積最大時的方程為 ………………………15分

19. （本題滿分16分）

已知函數的導數為. 記函數

 k為常數）.

    （1）若函數f(x)在區間上為減函數，求的取值范圍；

（2）求函數f(x)的值域.

【解】（1）因為f(x)在區間上為減函數，

所以對任意的且恒有成立.

即恒成立. …………………………3分

因為，所以對且時，恒成立.

又<1，所以                    …………………………6分

（2）.             …………………………7分

下面分兩種情況討論：

（1）當時，是關于x的增函數，值域為

…………………………9分

（2）當時，又分三種情況：

①當時，因為，所以即.

所以f(x)是減函數，.

又，

當，所以f(x)值域為.     ………………………10分

②當k=1時，，

且f(x)是減函數，故f(x)值域是.               ………………………12分

③當時，是增函數，，

.

下面再分兩種情況：

（a）當時，的唯一實根，故，

是關于x的增函數，值域為；

（b）當時，的唯一實根，

當時，；當時，；

所以f(x).

故f(x)的值域為.                        ………………………15分

綜上所述，f(x)的值域為；（）；

（）；（）.            ………………………16分

20．（本題滿分16分）

設{a_n}是等差數列，其前n項的和為S_n.

（1）求證：數列為等差數列；

（2）設{a_n}各項為正數，a₁=，a₁≠a₂，若存在互異正整數m，n，p滿足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素個數；

（3）設b_n=(a為常數，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，數列{b_n}前n項和為T_n. 對于正整數c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 試比較(T_c)^-1+(T_f)^-1與(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

【證】（1）{a_n}為等差數列，設其公差為，則

，于是（常數），

故數列是等差數列.                              …………………………3分

【解】（2）因為{a_n}為等差數列，所以是等差數列，

于是可設為常數)，從而.

因為m+p=2n，所以由兩邊平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，兩邊平方并整理得，即.                                  

 …………………………6分

因為m≠p，所以，從而，而a₁=，所以.

故.                                        …………………………7分

所以

.

因為15有4個正約數，所以數對（x，y）的個數為4個.

即集合中的元素個數為4.  ………………………9分

（3）因為（常數），

所以數列{b_n}是正項等比數列.

因為a₁≠a₂，所以等比數列{b_n}的公比q≠1.               ………………………10分

（解法一）  ①

.       ②

因為，所以要證②，只要證，   ③…………………13分

而③

.    ④

④顯然成立，所以③成立，從而有.…………………16分

（解法二）注意到當n>m時，.       ……………………12分

于是

. ……………………14分

而，故.   ……………………16分

（注：第（3）問只寫出正確結論的，給1分）

附加題部分

21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A. 選修4－1：幾何證明選講

_{如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線}

_{相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.}

求證： .

【證明】連結AD，因為AB為圓的直徑，所以∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四點共圓.

所以∠DEA=∠DFA.                                  …………………………10分

B. 選修4－2：矩陣與變換

已知, 求矩陣B.

【解】設 則，      …………………………5分

故             ………………………10分

C. 選修4－4：坐標系與參數方程.

在平面直角坐標系xOy中，動圓（R）的

圓心為 ，求的取值范圍..

【解】由題設得（為參數，R）.         …………………………5分

于是，

所以 .                              ………………………10分

D．選修4－5：不等式證明選講

已知函數. 若不等式對a¹0, a、bÎR恒成立，

求實數x的范圍.

【解】 由|且a¹0得.

又因為，則有2.  …………………………5分

解不等式    得              ……………………… 10分

22. 必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上

的一點，.

（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60º；

（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，

⊥AP，并證明你的結論.

【解】（１）建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B₁(1,1,1),  D₁(0,0,2).

所以

又由的一個法向量.

設與所成的角為，

則=，解得.

故當